Modelo del plano superior de Poincaré (D y Q V)

Regresemos a la geometría hiperbólica.

Empecemos por el modelo. Este es muy sencillo de entender con los que ya vimos: el disco de Poincaré y el modelo de Klein. El modelo del semiplano superior, como da a entender el nombre, toma la parte de arriba del plano cartesiano sin tomar al eje x. Ahora las rectas las definiremos como los semicírculos dentro del plano de tal forma que el centro del círculo este sobre el eje x. Una recta perpendicular al eje x es también una recta si consideramos a la recta como un círculo de radio infinito.

Geometría hiperbólica: Modelo de Klein (D y Q IV)

Pues ya platicamos un poquito del modelo de Poincaré, muy divertido por cierto. Hoy les hablaré de un modelo más sencillo que el de Poincaré, el de Klein o Klein-Beltrami, de las dos formas. Y ustedes pensarán, ¿por qué demonios nos explicaste el más sencillo después de uno relativamente más complicado?

Dragones y quimeras (parte III)

Geometría hiperbólica: modelo de Poincaré

Ya hablamos un poco de geometría euclidiana y acerca del quinto axioma. Hoy empezaremos negando el quinto axioma, teniendo un número  mayor de una paralela a una recta. Como ya comentamos existen muchos modelos para esta geometría, que iremos descubriendo poco a poco.

Dragones y quimeras (parte II)

La entrada de hoy será super rápida, sólo veremos un poco de equivalencias con ese misterioso y sospechosamente sospechoso axioma 5 de Euclides que comenzamos a ver en la primera parte, y el mini repasín de cónicas que les prometí.

Dragones y quimeras (parte 1)

Hola!!!

Espero que hayan tenido unas bonitas vacaciones (y que si aún están en ellas (como yo) estén disfrutándolas). Bueno después de este puente que tuvimos, regresemos a lo nuestro.

¿Se imaginan un mundo muy diferente al nuestro, en donde existan dragones y quimeras? ¿Donde en verdad exista la magia? Jajajaja pues yo sólo en sueños. ¿Por qué les menciono esto? Fácil, hoy veremos que onda con la geometría euclidiana y el misterioso axioma cinco. ¿Es independiente o dependiente de los otros cuatro? Si lo niego, ¿qué sucederá? Pues al negarlo entraremos en nuestro mundo de dragones y quimeras!!!

¿Penrose pavimenta mi libreta?

Una vez ya platiqué un poco acerca de lo que son los teselados. Ahora platicaré de uno muy especial que allí mismo comente como ejemplo. Pero empecemos diciendo quien fue Penrose.

Roger Penrose es un físico matemático ingles y maestro de la Universidad de Oxford. Hizo aportaciones muy importantes en el área de matemáticas y física, trabajando junto con Stephen Hawking (físico) y John Todd (algebrista y geómetra).

Podría describirles los trabajos que hizo pero son algo complicados de explicar, así que sólo diré que en 1974 descubrió lo importante en esta entrada: los teselados de Penrose.

Teselación de Penrose

Los teselados de Penrose son teselados no periódicos generados por un conjunto de baldosas (piezas) de Penrose, es decir, las piezas son las llamadas de Penrose y a los teselados formados por estas piezas son llamados teselados de Penrose.

Pero ¿por qué son tan importantes? Bueno, tienen algunas propiedades muy interesantes.

Como ya se dijo, es no periódica, es decir, si le sacamos una copia al teselado y la tratamos de encajar en la original, nunca podremos embonarlas de forma perfecta en otra posición que no sea la original. Cuando se cumple esto decimos que carece de simetría translacional (que por más que traslademos, no podremos tener el original)

Si tomamos una región limitada de este teselado, la encontraremos infinitamente en este teselado. Esta propiedad suena inútil en los teselados de la vez pasada, pero tratándose de un teselado sin simetría translacional es muy importante.

Un hecho muy interesante, es que cuando Penrose describió estos teselados en un documento llamado “papel de la estética en la investigación pura y aplicada” solo una quinta parte hablaba de estas figuras, pero el dijo que eran el tema central. También dice que se inspiro en un libro de Kepler “Harmonices mundi”, estudiando (en el libro de Kepler) los teselados pentagonales; que podemos extender a teselados de Penrose.

Teselado P1

Ahora también tendremos unas “reglas”, que más que nada es como podemos embonar las piezas, y sólo así se pueden embonar.

Como sabemos ya, los únicos teselados de figuras regulares que podemos hacer son 3: con triángulos, cuadrados y hexágonos. Sin embargo con pentágonos podemos hacer teselados incluyendo otras 3 figuras: un diamante, una estrella de 5 picos y 3/5 de estrellas de 5 picos. Además de esto, podemos poner a los pentágonos en 3 formas distintas y así tener 3 tipos de pentágonos teniendo en total 6 figuras: el diamante, la estrella, el pedazo de estrella y los 3 pentágonos (en la figura, marcados con 3 colores distintos). A este tipo de teselado se le llama P1

El P2 (que ya jugué un rato con él y es muy divertido) es el de las baldosas de la cometa y la flecha.  Como podemos ver, la cometa es un cuadrilátero y la flecha lo es pero convexo, además que se agregan unos trazos extra, que lo harán más interesante. Solo si estas formas extras coinciden con la de la otra figura, podemos hacer la forma. Es por eso que, por ejemplo, no podemos unir (como se ve en la figura) así como tal, y sí embonan, pero las líneas extras rojas nos lo impiden.

Baldosas de la cometa y flecha para teselado P2

El P3 tiene dos rombos, uno delgado y otro más grueso, y como en el anterior tiene líneas extras en su forma. Podemos tener 54 combinaciones con estas figuras, sin embargo, si queremos que este sea aperiódico, solo tenemos 7 combinaciones. La idea es la misma que en el anterior, unimos por las líneas extras. Podemos hacer ensamblados de tal forma que podamos hacer la cometa y la flecha. Un ejemplo de este tipo de teselado se puede ver en la primer figura.

Este último teselado tiene algunas cosillas interesantes:

Baldosas de rombo para teselados P3

La relación que existe entre rombos pequeños y grandes en un teselado infinito es la razón aurea (φ), que Luis hablara un poco mas después de este numerito.

Alrededor de una estrella formada por 5 rombos grandes podemos tener una espiral de Fibonacci.

Y más cosas un poco más complicadas acerca de la razón aurea.

También existen cosas interesantes dentro del mundo no matemático.

En decoración del arte de medio éste se ocupaba. Se ha observado que en el arte islámico medieval se utilizaba. En la Universidad de Western en Australia, el suelo es de baldosas de Penrose. El computólogo  Jos Leys ha hecho variaciones de este teselado. Incluso la compañía Pentaplex entro en juicio con Kimberly Clark por utilizar este tipo de teselados en un tipo de papal de baño.

Se ha llegado a observar que en la organización de de átomos en cuasicristales, este teselado es apreciable.

Como podemos ver este tipo de figuras tan simples como se podían ver en la entrada pasada, son un poco más complicadas e incluso algunas propiedades y aplicaciones aparecen siempre.

Suelo de la Universidad de Western en Australia

Índice de imágenes:

[1,2,3,4,5] http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrose

La Geometría del Sonido

Hoy vamos a hablar de un efecto acústico muy bonito: Las figuras de Chladni. No es nada de otro mundo, estoy casi seguro que ya las conocen. Son las figuras que se forman cuando ponen arena o sal en una placa metálica que hacen vibrar. ¿Ya las ubicaron? Si no, vean el siguiente video.

¿Qué ocurre? En realidad es muy fácil de entender. Como seguramente habrán notado, lo que hacen es excitar la placa metálica con distintas frecuencias. Cuando ustedes hacen vibrar la placa a cierta frecuencia, empiezan a viajar ondas a través de ella. Cuando estas ondas llegan al final de la placa rebotan y se suman con las ondas que vienen del centro. Esto provoca lo que se conoce como “onda estacionaria” es decir, es una onda que no “viaja”, y solo hace sus perturbaciones en ciertos puntos. Lo que hace la sal, (arena o cualquier cosa granular fina que le pongan), es irse a los puntos donde hay menos movimiento, que se conocen como líneas nodales.

Una onda estacionaria

Así que dependiendo forma de la placa o de la frecuencia con la que la pongan a vibrar, obtendrán distintas figuras geométricas.

¿Verdad que está muy padre? Este efecto fue descubierto por Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827), para muchos considerado como el padre de la acústica.

Chladni fue el primero en investigar que ocurría al hacer vibrar placas metálicas. Obviamente en su tiempo no existían equipos electrónicos para hacer vibrar las placas como en el video, así que él las estimulaba usando un arco de violín. Sin duda Chladni quedó fascinado al ver como se acomodaba la arena en las líneas nodales, pues en su libro incluyó cientos de dibujos en diferentes modos de excitación para distintas figuras, como triángulos, círculos, cuadrados e incluso elipses.

Se dice que inclusive Napoleón dijo “El sonido puede verse” cuando Chladni hizo su demostración en la Academia Francesa de Ciencias.

La base teórica matemática del porque se veían estos patrones geométricos todavía no estaba clara, y fue el mismo gobierno francés el que ofreció un premio a la persona que pudiera encontrar la solución al comportamiento de las placas (eran tiempos de la ilustración, y los gobiernos daban muchos premios por la resolución de problemas físicos y matemáticos). El premio se lo llevó Sophie Germain en 1815, cuando encontró la ecuación diferencial de 4to orden que describía estas figuras.

Hay que destacar que en esa época las matemáticas eran una actividad “reservada a los varones” lo que a mi parecer le da más merito al premio. Me gustaría seguirles contando más sobre Sophie Germain; su vida es muy interesante e hizo varias contribuciones importantes a las matemáticas, pero dejaré eso para alguna entrada futura.

¿Pavimentando mi libreta?

Hablemos en estos momentos (debido a la cantidad de tarea que deje juntar XD) acerca de algo muy padre y que todos hemos visto en las calles. Es un tema muy bonito de geometría y el primer tema que hago de matemáticas: los teselados.

El teselado es el patrón de regularidades que existe sobre una superficie. Cumple dos reglas muy importantes:

No existen huecos.

Pavimento hexagonal. Vean como no existen huecos ni se superponen las figuras.

No deben superponerse las figuras.

Uno muy básico es la hoja de su libreta, si es cuadriculada mejor. Imaginemos un cuadro sobre una hoja blanca, en la parte superior izquierda, ahora desplacemos ese cuadro hacia la derecha siguiendo las dos reglas mencionadas, cuando hayamos llegado al final de la hoja desplacemos hacia abajo la línea entera que resulto y taran!!! Allí tenemos nuestra hoja de libreta y un bonito y simple teselado.

Otro teselado muy interesante es el que vemos todos los días en la calles (al menos de mi ciudad natal antes eran de hexágono, ahora son rectangulares y esta feo :P) que por lo regular el pavimento es de forma hexagonal formando así un teselado. Y no solo aquí, y en estos tiempos, sino también desde la antigüedad se han realizado teselados para pavimentar calles de ciudades.

Pero he mencionado unos muy básicos, esto es porque las figuras son básicas, y podemos hacer teselados con 3 figuras básicas, 2 ya las vimos, cuadrados y hexágonos, y otro que también es muy divertido es con triángulos. Otra cosa importante, y que es más como consecuencia de las reglas mencionadas, es que en el lugar donde todos los vértices concurren, es decir, se juntan, la suma de los ángulos entre las figuras debe sumar 360º. Es por eso que las 3 figuras mencionadas, en su forma regular (lados y ángulos iguales) es con los que se pueden formar los bonitos acabados, porque son los únicos que cumplen que la suma de los ángulos sea de 360º.

Teselado regular con triángulos

Pero podemos hacer cosas más interesantes, sólo hicimos un teselado de una figura regular, pero que tal de dos??? Pues es más divertido y las piezas que podemos usar se amplían ya que pedimos dos polígonos regulares a su modo, es decir, podemos tener un polígono con muchísimos lados y ángulos iguales muy grande, como un dodecágono (12 lados) y un cuadradito chiquito, con esto podemos hacer algo más complicado. A esto se le llama teselado semirregular, porque ocupamos dos polígonos regulares y no sólo uno.

Teselación del Cairo

Pero hagamos esto más divertido aún, que tal si lo que pedimos es una irregularidad, es decir que ya no se ocupen los bonitos polígonos que teníamos y ahora a ocupar cosas locas. El resultado es muy padre, porque existen ejemplos con este tipo tan fascinantes como el teselado del Cairo que ocupa pentágonos irregulares.

Podemos utilizar también polígonos cóncavos, es decir, que dos de sus lados formen un ángulo exterior mayor de 180º, con polígonos convexos y así hacer un buen rompecabezas con dos piezas. Con tres piezas es aún mejor, y si tenemos más piezas podemos hacer algo más complicado, pero quizá la belleza del armado no será tan buena como con 2 o solo una pieza. Por este momento dejare aquí la entrada con un ejemplo de un teselado muy interesante: la teselación de Penrose y que es algo más complicada de explicar en esta entrada.

Polígono cöncavo

Por cierto, podemos hacer nuestras propias piezas de teselado por si les interesa, tomen una figura regular, de preferencia las 3 mencionadas anteriormente, corten una parte de ella y péguensela en otro lado formando una figura irregular, y pueden divertirse un rato, la idea es llenar todo el espacio con las reglas mencionadas.

Para la siguiente semana, sino hay un inconveniente regresaremos a nuestro Sistema Solar.

Teselación de Penrose