Oct 13 2011

Teoría del Caos (Parte III)

Fractales

“¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo «frío» y «árido»? Sí, es incapaz de descubrir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porqué ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo.”

Benoît Mandelbrot

Llegamos a la parte final de esta serie de entradas sobre Teoría del Caos y que mejor para cerrar que con un tema tan fascinante como los fractales. Aquí les dejo enlazado la Parte I y la Parte II, por si les falla la memoria tanto como a mí.

Antes de empezar, les comparto los dilemas que tuve al escribir ésta entrada ¿Cómo a abordar el tema? ¿Cómo relacionarlo con lo que ya vimos en las otras entradas? Y llegué a la conclusión que lo mejor sería, apartarnos un poquito de la Teoría del Caos y explicar desde cero los fractales, y conforme fuéramos avanzando ir recordando las cosas que ya vimos.

Dicho esto, empecemos viendo de donde salen los fractales. Recordaran que los sistemas caóticos que vimos ocurrían por que se repetía varias veces una operación. Bueno, pues eso es justamente lo que vamos a hacer ahora.

Eso quiere decir que vamos a ponerle un poco de matemáticas al asunto, (¡No!, ¡no huyan!) solo para aclarar ideas. Descuiden, solo vamos a sumar unos cuantos números chiquitos.

La operación que vamos a efectuar es varias veces será esta: . Esto de repetir la operación varias veces se entiende mucho más fácil si la escribimos recursivamente de esta forma Es decir, vamos a tener una sucesión de números, donde el siguiente número se obtiene al elevar al cuadrado el anterior y sumarle un número c. Ahora, lo único que nos falta es un punto donde empezar, que será $x_0=0$ ¿Y la c? Ah pues justamente es la c la que vamos a estudiar, veremos que ocurre con nuestras operaciones con distintos valores de c. Es decir, vamos a ver a donde se va la sucesión, si converge a algún lado, si se va a infinito o que onda. (¿Qué les recuerda esto?… ¡exacto!, los atractores ¿verdad?)

Veamos qué ocurre si escogemos $c=1$

$x_0=0$

$x_1=0^2+1=1$

$x_2=1^2+1=2$

$x_3=2^2+1=5$

$x_4=5^2+1=26$

En este caso, se puede ver que si continuamos repitiendo la formula la sucesión se nos escapa a infinito

Veamos qué pasa con otro valor de c. Ahora probemos con $c=0.5$

$x_0=0$

$x_1=0^2+0.5=0.5$

$x_2=0.5^2+0.5=0.75$

$x_3=0.75^2+0.5=1.6025$

Y si continuáramos veríamos que también se va a infinito, pero más lentamente que con c=1.

Si ahora tomamos $c=0$

$x_0=0$

$x_1=0^2+0=0$

$x_2=0^2+0=0$

$x_3=0^2+0=0$

Con este valor de c, es claro que no se escapa a infinito y siempre permanece en el 0.

Veamos con $c=-0.5$

$x_0=0$

$x_1=0^2-0.5=-0.5$

$x_2={-0.5}^2-0.5=-0.25$

$x_3={-0.25}^2-0.5=-0.4375$

$x_4={-0.4375}^2-0.5=-0.3086$

En este caso podemos ver que con cada operación el resultado se pone a saltar entre el -0.5 y 0. Eventualmente convergerá a un valor cercano -0.366.

Por último veamos con $c=-1$

$x_0=0$

$x_1=0^2-1=-1$

$x_2={-1}^2-1=0$

$x_3=0^2-1=-1$

En este caso, no converge a ningún punto, pero tampoco se va a infinito. Se la pasa brincando entre el -1 y el 0. En este caso podemos decir que esta «acotada» entre el -1 y el 0.

Y con esos ejemplos es más que suficiente. ¿Verdad que no fue tan duro? Ya vimos que con ciertos valores de c, al hacer las operaciones los resultados se pueden escapar a infinito, en otros convergen a cierto valor y en otros simplemente se quedan acotados entre en un par de valores.

Esta es la idea con la que nacieron los fractales. En los años 70’s hubo un señor llamado Benoit Mandelbrot, que gracias a la ventaja de la computación hizo este mismo ejercicio, usando la misma formula, pero con números complejos (no entraré en detalles sobre los números complejos, sólo deben saber que cada número complejo se puede representar como un punto en el plano cartesiano). Lo que acabamos de hacer sólo fue en una dimensión con números reales.

Luego, se puso a colorear, pero siguiendo ciertas reglas. Si al hacer las operaciones convergía a cierto punto o estaba acotada, se pintaba de negro. Y si escapaba al infinito, se coloreaba dependiendo de la velocidad con la que éste se escapaba (entiéndase «velocidad con la que se escapaba» como el número de pasos que le tomaba a la sucesión llegar a un valor grande). Así de sencillo.

El resultado de colorear de esta forma el plano da como resultado el conjunto de Mandelbrot, que se ve así:

$fractal00$

El conjunto de Mandelbrot

Y eso, damas y caballeros, es uno de los fractales más importantes que han existido. El conjunto de Mandelbrot. Es tan importante este conjunto que revoluciono muchas ideas no solo en las matemáticas, si no también en el mundo. (¡Ya ven!, y solo necesitaban saber sumar y colorear). Desde luego, hay otros tipos de fractales, que se construyen con «operaciónes» distintas.

Para mí la mejor forma de entender los fractales es verlo en un video. Solo vean todas las formas que hay e intenten imaginar si ya han visto eso antes en algún otro lado. Si son observadores, notaran que las figuras que se forman son distintas dependiendo de la zona donde hagan zoom.

¿Qué pasa con las orillas? Supongo que notaron que no están bien definidas. Muchas tenían formas chistosas, algunas parecian los contornos de una costa, las ramas de un árbol o de un rayo. Con algo de imaginación habrán visto figuras como de neuronas, montañas, nubes, vórtices y espirales.

Yo se que una duda que los atormenta todos los días y les quita el sueño es ¿dónde puedo encontrar fractales? Pues bien, la respuesta es muy simple ¡En todos lados!

En los rayos

En la lluvia

En los árboles

$fractal def$

En los cristales de hielo

Hojas de helechos

En las montañas

En las nubes

Y muchos lugares más. Esto esta muy bonito, aunque supongo que algunos de ustedes se estarán preguntando ¿Qué tiene que ver esto con la Teoría del Caos?

Pues resulta que los fractales tienen muchos usos, entre ellos es posible predecir cosas como caídas en la bolsa de valores, el clima, el crecimiento de una flor o fuertes terremotos. De hecho, se supone que Mandelbrot predijo las 2 últimas caídas de la bolsa de valores… y obviamente nadie le hizo caso.

¡Ya sé lo que están pensando! ¿Pero cómo? Llevo 2 entradas diciéndoles que si algo que se comporta caóticamente, entonces no se puede predecir con exactitud. Y ahora les estoy diciendo que en realidad sí se puede. ¿Por qué?

Bueno la respuesta es algo rara. Ni siquiera yo la entiendo del todo. Tomen su fractal favorito. Si observan “la orilla” su fractal, van a ver figuras muy locas y a veces caóticas, con muchos bordes, puntas y curvas. Pero si la observan de forma más “global”, van a ver que todo esta bien ordenado y de forma regular. Es por eso que observando el comportamiento “global” de los fractales, es posible anticipar peligros como una caída en la bolsa.

Es decir, no pueden utilizar los fractales para predecir los números que tendrá una acción al día siguiente (es como la “orilla” de un fractal) simplemente es imposible. Sin embargo, sí pueden usar los fractales para predecir caídas en la bolsa (porque es como el comportamiento “global” del fractal). Sí, a mí también me costó trabajo asimilarlo. ¡Imagínense cuantos millones se hubieran ahorrado de haber escuchado a Mandelbrot! ¡Se dan cuenta del poder de los fractales!

Hoy solo les di una probadita de lo son los fractales. Pero no les hable de los otros tipos de fractales que hay, ni de sus dimensiones, aplicaciones, impacto en el mundo, etc etc. Desde hace tiempo Yasab (Pitheas) tiene ganas de escribir sobre ellos, así que dejaré todos estos temas que no toque para él XD

Bueno y con esto doy por terminada esta serie de entradas sobre la Teoría del Caos. Espero que les haya gustado y haber cambiado aunque sea un poquito su visión del mundo. Y que ahora cuando vean una nube o un árbol, se acuerden de los fractales y de cómo las Matemáticas están en todos lados. Hasta en su sopa y su café (si, ahí también hay fractales, solo deben estar atentos).

Si les gustaron los fractales, en internet podrán encontrar una inmensa cantidad de ellos. Yo solo les puse fractales que encuentran en la naturaleza, pero se sorprenderán cuando vean la cantidad de fractales que se pueden hacer en la computadora.

Aquí les dejo unas cuantas galerías de fractales para que se entretengan un rato:

http://www.infinitezoom.com/index.htm

http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm

http://fractals.hauner.cz/index

http://www.aliciadangelica.com.ar/fractales-sp.html

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Teoría del Caos (Parte I)

Teoría del Caos (Parte II)

Oct 6 2011

Teoría del Caos (Parte II)

El nacimiento de la Teoría del Caos

Continuemos con la segunda parte de esta serie de entradas sobre Teoría del Caos. Recordemos rápidamente lo que vimos en la Parte 1: A pesar de que se conocían las leyes que gobiernan el universo, era imposible hacer predicciones exactas. ¡Listo! Ya que nos acordamos podemos continuar.

Llegó el año de 1961, y con él, un señor llamado Edward Lorentz, un meteorólogo estadounidense que vendría a cambiar todo lo que se creía. El chiste es que un día se encontraba trabajando en su computadora haciendo cálculos y predicciones del clima. Simplemente introducía ciertos valores iniciales a la computadora (por ejemplo la temperatura, la altitud, la humedad), entonces ésta las operaba y le devolvía las predicciones. Un día, quiso volver a ver ciertos datos, así que empezó de nuevo su simulación, pero para hacerlo más rápido, empezó en un punto intermedio. Nuevamente introdujo los valores iniciales (que obtuvo de sus simulaciones anteriores), pero como estaba cansado, en vez de introducir un número como 0.506127 solo introdujo 0.506, al fin y al cabo la diferencia era menos de una milésima. Pero para su sorpresa, la computadora le devolvió resultados completamente diferentes a los que obtuvo en su primera simulación. Había días en los que la primera simulación predecía fuertes tormentas, mientras que la otra predecía días calmados y soleados.

Todo esto provocado simplemente por esa pequeña milésima que cambió. Era una diferencia tan pequeña e insignificante, que bien podría haber sido provocada por un bicho cualquiera. Y eso es lo que hoy conocemos como el “Efecto Mariposa”. Seguramente ya lo han escuchado en alguna de sus variantes: “El aleteo de las alas de una mariposa en Brasil, puede provocar un tornado en Texas”.

La cosa es que en ese entonces, se acostumbraba a pensar que un cambio pequeño en las condiciones del problema, provocaba un cambio pequeño en los resultados finales. Por ejemplo, variar un poquito el ángulo con el que se disparaba un cañón, provocaba que la bala cayera en un lugar ligeramente distinto, pero no mucho. (Una cosa es que una bala caiga a unos cuantos cm de donde debería caer, y otra es que llegue un huracán cuando debería ser un día soleado)

Y fue entonces que Lorentz le dio a la clave del asunto. El chiste era que estos sistemas “impredecibles” (el problema de los 3 cuerpos, el clima), en realidad eran sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales. Y es aquí donde nace la Teoría del Caos. La Teoría del Caos se encarga de estudiar este tipo de sistemas, que son muy sensibles a las condiciones iniciales.

Ahora que ya sabemos que estudia la Teoría del Caos, se estarán preguntando ¿Y qué otros sistemas se comportan así? ¡Aaah! pues hay un buen de ejemplos:

-La bolsa de valores

-La forma en que crecen los cristales de hielo

-El movimiento de fluidos

-Un péndulo doble

-Un péndulo magnético

-Poblaciones de bichos, humanos, bacterias, etc.

-La evolución

-El movimiento de las placas tectónicas

-El tráfico en las ciudades

Y muchísimas cosas más…

Inclusive, les apostaría lo que quieran, a que hasta la misma historia tiene un comportamiento caótico (aunque quizá la única forma de saberlo sería viajar al pasado, pisar un bicho cualquiera y ver que pasa)

La bolsa de valores, siempre tan caótica

Ya casi acabamos, sólo nos falta mencionar un par de ideas importantes para la tercera parte de la serie.

Los comportamientos caóticos que hemos visto, ocurren cuando repetimos la misma operación muchas veces. Por ejemplo, al calcular el clima, tú puedes introducir cierta temperatura inicial en la computadora, y ésta hará sus operaciones y te devolverá una nueva temperatura. Luego con esa nueva temperatura, vuelve a repetir las operaciones y así se sigue una y otra vez. Va “evolucionando” con el tiempo (a eso se le llama sistema dinámico). (Cabe aclarar que cuando digo «operación», no necesariamente me refiero a una operación matemática. Por ejemplo, puedo decir que mi operación es: «la población de bichos procrea a la siguiente generación»)

¿Qué puede ocurrir conforme continúen las operaciones?

Varias cosas. Podría llegar converger a un resultado (al que se le llama atractor). O por el contrario, podría, alejarse lo más que pueda de ese resultado, o inclusive ¡ambas al mismo tiempo! (es decir, el sistema tenderá a buscar ese punto donde todo concurre, pero habrá fuerzas que lo eviten (si, lo sé, está raro)).

En el ejemplo de poblaciones de bichos, por lo general se llegan a estabilizar en un punto (atractor), pero hay fuerzas externas que lo evitaran (factores ambientales, depredadores, enfermedades, o yo que se, pregúntenle a un biólogo =D)

Geométricamente un atractor puede tener distintas formas, puede ser un punto, una curva, una superficie, o incluso figuras más complicadas como ¡los fractales! (¡Tema de la próxima entrada!) De hecho, a los atractores con forma de fractal se les llama «atractores extraños» y suelen ser los tipos de atractores que tienen los sistemas con comportamiento caótico.

¡Y ya! Y eso es todo por ahora. Espero haberlos dejado con ganas de más. Les dejo con un par de videos, para que vean ejemplos de sistemas con comportamiento caótico en acción. Verán a lo que me refiero cuando les digo que el caos es en realidad muy bello.

Péndulo doble:

Péndulo magnético:

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Teoría del Caos (Parte I)

Teoría del Caos (Parte III)

Sep 29 2011

Teoría del Caos (Parte I)

Muchas personas piensan que la Teoría del Caos es una teoría que predice destrucción, furia, desorden completo sin razón y cosas así. Solemos tener una idea negativa cuando escuchamos la palabra “caos”. Pero como muchas veces pasa, esa idea está totalmente alejada de la realidad. Así que vamos a ver en 3 entradas, de qué se trata realmente la Teoría del Caos, e intentaré convencerlos de lo bella que ésta es en realidad.

¡Así que empecemos! Pero en vez de decirles de golpe qué es la Teoría del Caos y qué hace, empecemos con algo de historia para introducirnos al tema.

Hasta finales del siglo XIX muchos científicos creían que bastaba con el conocimiento de unas cuantas leyes para poder predecir cualquier suceso. Y con “cualquier suceso” me refiero a ¡cualquier suceso!, el que se les ocurra. Existía la idea de que si se conocían las posiciones y velocidades de cada partícula del universo, se podría predecir el futuro. Vamos, en esa época los científicos eran algo deterministas. Pero pronto empezaron a descubrir que estaban equivocados.

Por ejemplo, tomen la ley de la gravitación universal de Newton. Con esta ley, podemos conocer con una ¡exactitud perfecta!, la posición de 2 cuerpos en cualquier tiempo (por ejemplo la Tierra y la Luna, sin ninguna influencia externa del sistema solar). A esto se le conoce como “el problema de los 2 cuerpos”. Sin embargo, el mismo problema, pero planteado con 3 cuerpos, hasta el día de hoy ¡no ha sido resuelto! Es decir, ¡No podemos predecir con absoluta exactitud como es el movimiento de 3 o más cuerpos que se mueven solo por su gravedad!, a pesar de que conocemos la fórmula que controla su movimiento. (Nada más para aclarar, sí se puede predecir la posición de los planetas, pero solo utilizando aproximaciones numéricas, que desde luego solo son precisas en tiempos pequeños)

No se puede determinar la posición exacta de 3 cuerpos que se mueven solo por su gravedad

Otro ejemplo: el clima. Conocemos a la perfección todas las fórmulas que pueden influir en el clima: las leyes que controlan el movimiento de los gases, la cantidad de energía que entra a la Tierra desde el Sol a distintas latitudes y en distintas épocas del año, como se transmite el calor, el ciclo del agua etc. etc. Y sin embargo, ¡tampoco podemos predecir el clima con exactitud! Nuevamente, solo podemos hacer aproximaciones numéricas, que son más o menos precisas solo para un par de días (además de que los cálculos hay que hacerlos con supercomputadoras, porque la cantidad de operaciones que hay que hacer es espantosa, incluso para una computadora normal)

Tampoco se puede determinar el clima con absoluta precisión

Creo que ya se entiende el problema que había con estas ideas deterministas. No importaba que se conocieran a la perfección las leyes con las que funciona el universo, simplemente no se podía hacer predicciones totalmente correctas.

En la siguiente entrada veremos qué ocurrió con estos problemas y el nacimiento de la Teoría del Caos.

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Teoría del Caos (Parte II)

Teoría del Caos (Parte III)