Geometría hiperbólica: Modelo de Klein (D y Q IV)

Pues ya platicamos un poquito del modelo de Poincaré, muy divertido por cierto. Hoy les hablaré de un modelo más sencillo que el de Poincaré, el de Klein o Klein-Beltrami, de las dos formas. Y ustedes pensarán, ¿por qué demonios nos explicaste el más sencillo después de uno relativamente más complicado?

Pues aquí no les definiré el ángulo entre dos rectas, es demasiado complicado, pero ya hablaremos de eso en su momento. Ahora pasemos a lo importante. Construir el modelo de Klein. Y haremos lo mismo con el disco de Poincaré, tomaremos un disco, y le quitamos la circunferencia (igual que el anterior). Pero ahora definiremos como recta a toda cuerda del circulo. Como recordatorio, una cuerda del circulo, es la recta que conecta dos puntos sobre la circunferencia (no se preocupen, haré más dibujos para ustedes). Entonces, las rectas serán cuerdas, recordando que los puntos sobre la circunferencia no los incluimos.

Y ja, también obtenemos lo que queríamos, infinitas rectas infinitas a una dada 😀 En la imagen se ve mejor, por el punto p, tenemos también muchas rectas paralelas. Recordando un poco el disco de Poincaré, definimos las rectas asintóticamente y divergentemente paralelas, aquí también tenemos esos dos conceptos. En la figura, tenemos la recta l. las rectas m y n son asintóticamente paralelas y todas las rectas que quepan entre estas dos, como las rectas r y q, son divergentemente paralelas.

Ahora bien, los ángulos en este modelo son más complicados de definir. Jeje y no los definiré, porque tengo que meterme con cosas un poquito más complicadas. Espero un día poder explicarles como los definimos de forma directa con un objeto geométrico muy divertido: la proyección estereográfica, y espero que Ari con su geometría proyectiva un día nos ayude. Así que no me meteré en eso. Mejor pasemos a algo muy simpático, de tal forma que cuando menos se lo imaginen, ¡zas!, ya tenemos ángulos en este modelo de forma indirecta.

Y lo que haremos es algo simpático. Jugaremos con el modelo que ya tenemos, que conocemos casi bien, y veremos como, de alguna forma, podemos tratarlo como si fuera este nuevo modelo que estamos definiendo. En una manera muy simplista, en matemáticas a esto se le llama isomorfismo. Que dos cosas son iguales pero no son lo mismo. Manera muy simplista repito.

Tomemos una recta en el disco de Poincaré. Recordando que una recta lo podemos ver como un arco de círculo, tomemos eso, un arco de circulo. Lo que haremos, será deformar esta recta para obtener una recta en el modelo de Klein. El diámetro es recta en los dos modelos, así que podemos decir que ya tenemos lo primero 😀 Lo segundo será tomar una recta lp (Poincaré) y el centro de nuestro circulo (que para efectos prácticos es el mismo en los dos). Ahora, el primer axioma de Euclides me asegura que dos puntos me definen un segmento de recta único. Bueno, pues tomemos los puntos limite (sobre la circunferencia) y unamos al centro, y ¡ja! Ya tenemos una recta en nuestro nuevo modelo. Jaja muy fácil ¿no creen? Pues de esta manera, tenemos que las rectas de Poicaré las podemos proyectar a rectas de Klein. Y ¡zas! El ángulo entre dos rectas en el modelo de Klein lo definiremos como el ángulo que forman sus equivalentes en el modelo de Poincaré. ¡Muy padre!

Por ultimo la distancia entre dos puntos, tenemos que esta dado por la siguiente ecuacioncita.

Igualmente, tenemos que |PX| es la distancia euclidiana.

Y ahora lo interesante que tenemos para este modelo, pues tenemos más teselaciones. Una muy padre es esta.

Teselación en este modelo

En la siguiente entrada, les platicare de un tercer modelo, y creo que ya viendo estos dos será más fácil de ver, así que les intentaré explicar como pasar entre modelos por medio de cosas bonitas.

Índice de imágenes:

Las primeras imágenes son creación mía y que las ocupe quien quiera, no me enojo XD

La última: http://132.248.17.205:8888/hiperbolia/las-matematicas-involucradas/el-modelo-de-klein

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2 comentarios el “Geometría hiperbólica: Modelo de Klein (D y Q IV)

    • Mmm no estoy muy seguro, pero mi respuesta hasta este momento es no, en la siguiente entrada les platicaré como obtener este modelo, a través de la proyección estereógrafica, quizá ya lo sabes, pero la proyección la tenemos a partir de una esfera en R3, el espacio, no se si haya mmm un tipo de hiperproyección estereógrafica. Sin embargo, como también platicaré en la sig entrada, los modelos son isomorfos, entonces, si podemos hacer un modelo de Poincaré en varias dimensiones, por qué no hacerlo en este modelo? La verdad no sé, pero prometo investigar y responderte de manera más formal

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