¿Cómo invertir una esfera de adentro hacia afuera?

El otro día, mientras estaba de ocioso en el Internet, encontré un vídeo  muy interesante. Es sobre un famoso problema de topología diferencial: ¿es posible evertir una esfera? Evertir significa “sacar algo volviéndolo al revés”, es decir, queremos saber si podemos voltear una esfera, de forma que la cara de adentro quede fuera y la que estaba fuera quede dentro. Claro, sin hacerle agujeros.

Evidentemente esto no es posible en el mundo real, sin embargo, a los topólogos (y matemáticos en general) no les interesa las limitaciones del mundo real, así que usan su imaginación. Imaginemos por un momento que tenemos un material especial, muy flexible y con la propiedad de poder atravesarse a sí mismo. Sería muy divertido jugar con ese material si existiese, pero hay que tener cuidado, pues si le hacemos un pequeño dobles o corte, este se desintegra. D=

El Teorema de la Bola Peluda

¿Alguna vez han intentado peinar una bola peluda? Y no, no me refiero a peinar sus cabezas, sino una esfera tal cual, cubierta de pelo por todos lados. ¿No? ¿Seguros? Está bien, yo tampoco, de hecho creo que jamás he visto una bola perfectamente cubierta de pelo. Pero bueno no importa, aunque el teorema de hoy nos hable de bolas peludas no necesitaremos una para entender de qué trata.

Trucos topológicos

Ya Ariadna les habló en alguna ocasión de topología, y transformó tazas de café en donas y donas en tazas de café. Yo hoy les voy a mostrar algunos trucos, trucos topológicos. En otras palabras, trucos que juegan con cuerdas, alambres, nudos, hoyos y la forma en la que están amarrados.

Juguemos gato en un toro.

Hoy les hablaré de algo muy interesante, un juego de gato en un toro. Posiblemente confunda a muchos, pero no es algo complicado. Y es que con toro no me refiero al animalito, sino a una superficie (que es como una dona). Pero, ¿cómo jugar gato ahí? Pues miren, en una esfera, si se toman un punto y van hacia, por ejemplo, arriba, en línea recta y luego parten de ese mismo punto pero ahora de un lado, y trazan ambos caminos, se intersectarán 2 veces. Si hacemos lo mismo en un toro, es decir, nos vamos por el centro de la dona y luego por fuera, sólo habrá una intersección.

Toros

Hay muchas propiedades interesantes de estas superficies, y las estudia la topología. Algunas cosas de topología:

Si tenemos 2 superficies, serán topológicamente equivalentes si ante ciertas transformaciones conservan algunas propiedades (si lo quieren formal, ante transformaciones rígidas se conserva el ángulo, volumen, etc.). Si lo vemos desde el punto de vista topológico, son equivalentes si podemos volver una superficie en otra sin romperla (se vale estirar y alterar). Es por eso que hay un chiste que me gusta mucho y dice que un topólogo es quien no sabe diferenciar entre una dona y la taza del café. Y es que una dona (toro) y una taza de café (siempre y cuando tenga aspas) son topológicamente equivalentes:

Taza y café

Versión gif:

Transfromación de una taza de café en una dona

Ahora a lo que voy, la relación con el juego de gato. Yo me refiero al juego de gato que todos conocemos y jugamos. Usualmente el juego es en un espacio plano, pero es posible jugarlo en otras geometrías. La de un toro es especialmente padre. Para los jugadores de videojuegos (en específico Final Fantasy) en algunos mapas, no sé si han notado (repito, algunos) que cuando uno se va al extremo del mapa (digamos, derecho) sale por el otro extremo (el izquierdo) pero en la misma dirección en la que iban. Eso es un toro, por lo que se llega a la conclusión de que los mundos de Final Fantasy son toros. En la esfera pasan otras cosas. Piensen en el mapamundi.  Si uno se va por Alaska, saldrá por Rusia, mientras que si uno se va por Argentina hacia abajo, no sale por Groenlandia (como lo haría si la Tierra fuera un toro) sino que sale por Australia. He aquí un mapamundi para que les ayude:

Mapamundi

Ahora, si se juega gato en un toro, hay más posibilidades de ganar (ja, eso creerían).  Están las normales y hay más:  Paraempezar, cualquier posición es como el centro, así que da lo mismo de donde se empiece. Luego si se hacen configuraciones como:

Maneras de ganar en gato en toro

Se gana pues si se empieza desde el círculo de abajo y se hace una línea, va a dar a los círculos de arriba, uniendo 3 círculos.

Si se voltea esta configuración y se refleja dan las otras configuraciones con las que se gana, pero en escencia es eso.

Aunque la verdad jugar este juego es trampita (y mientras los demás no sepan, trampita divertida) pues en este juego, mientras uno no se deje ganar, el que empieza gana. La demostración completa no la pondré, pero lo que se debe hacer para demostrarlo es ver todos los casos, no son tantos, pero si, el que empieza gana siempre y cuando no se deje ganar. Así que puede ser muy divertido jugar gato en toro siempre y cuando uno empieze.