Modelo del plano superior de Poincaré (D y Q V)

Regresemos a la geometría hiperbólica.

Empecemos por el modelo. Este es muy sencillo de entender con los que ya vimos: el disco de Poincaré y el modelo de Klein. El modelo del semiplano superior, como da a entender el nombre, toma la parte de arriba del plano cartesiano sin tomar al eje x. Ahora las rectas las definiremos como los semicírculos dentro del plano de tal forma que el centro del círculo este sobre el eje x. Una recta perpendicular al eje x es también una recta si consideramos a la recta como un círculo de radio infinito.

En la figura vemos 4 rectas. La recta m y n se intersecan, pero las rectas l y p son paralelas a la recta m, recordando un poco acerca de asintótica y divergentemente paralelas, la recta m y l son divergentemente paralelas, pero las rectas m y p son asintóticamente paralelas, ya que se intersecarían si el eje x estuviera en el modelo.

 

Este modelo (recordando un poco el disco de Poincaré) también es conforme, entonces los ángulos que tenemos entre dos rectas, serán los ángulos que definen las rectas tangentes a estas rectas.

 

Y la distancia que tenemos entre dos puntos será la siguiente:

Y ya, básicamente este es el modelo del plano de Poincaré, muy parecido al del disco. Aparte de que es interesante, por ejemplo ahora también tendremos un teselado como el que sigue:

Esta pintura es de Escher, y se llama División de superficie, y es un ejemplo demasiado padre de cómo utilizar el modelo de Poincaré en el plano hiperbólico de Poincaré.

Ahora dejenme hacer un paréntesis muy largo. Dejemos un poco la geometría hiperbólica. Les platicaré un poco de proyección estereográfica. Lo hare debido a que no encontré nada fácil de explicar el modelo de Lorentz, ni yo mismo le entendí del todo. Prometo que lo leo muy bien y dentro de poco podre explicarlo. Así que vayamos un poco con proyección estereográfica. Sólo abordare un poco dado que en algunos que escriben aquí lo explicarán mejor que yo y hasta donde sé, lo harán dentro de poco.

Ahora imaginemos una esfera. Ahora tomemos un plano que pase por el centro de la esfera. Este plano me definirá dos semiesferas, lo que nos interesa es uno de los polos, que llamaremos polo norte. En el polo norte, pondremos un emisor de luz lineal, como un rayo láser como los verdecitos bonitos que alguno ya han visto. En cualquier dirección que apuntemos la lamparita, la luz tocará a la esfera, excepto si el rayo de luz es paralelo al plano que pasa por la esfera. La luz incluso dejaremos que se “meta” en la esfera y salga. Cuando sale, tenemos que la luz toca a la esfera en un punto, pero si dejamos que la luz siga su trayectoria, la luz tocará también al plano. Entonces estamos proyectando al punto de la esfera en el plano.

Si movemos la lucecita haciendo una figurita en la esfera, también tendremos la misma figurita pero más grande en el.¿Cómo sabemos que es la misma y no distorsionada? Pues la proyección estereográfica es también una transformación conforme, de tal forma que se preservan los ángulos y así tenemos la misma figura. Podemos hacer cosas muy padres con este bonito bicho, pero de momento les diré solamente que esta proyección nos servirá para ver que los modelos que hemos visto son la misma cosa pero con dos caras distintas. Y nos será de mucha ayuda. Bueno por el momento es todo, les debo Lorentz que como les dije después les explico, y se los adelantaré, con eso veremos un poco de relatividad de Einstein, y después veremos aplicaciones a la física de cada modelo, y sino de todos, al menos de unos sí lo veremos.

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