Dragones y quimeras (parte 1)

Hola!!!

Espero que hayan tenido unas bonitas vacaciones (y que si aún están en ellas (como yo) estén disfrutándolas). Bueno después de este puente que tuvimos, regresemos a lo nuestro.

¿Se imaginan un mundo muy diferente al nuestro, en donde existan dragones y quimeras? ¿Donde en verdad exista la magia? Jajajaja pues yo sólo en sueños. ¿Por qué les menciono esto? Fácil, hoy veremos que onda con la geometría euclidiana y el misterioso axioma cinco. ¿Es independiente o dependiente de los otros cuatro? Si lo niego, ¿qué sucederá? Pues al negarlo entraremos en nuestro mundo de dragones y quimeras!!!

Jajaja divagues míos. Hoy hablare un poquito de geometría y los postulados de Euclides. Lo hago para que entradas venideras, hablemos un poco de geometría hiperbólica y geometría elíptica. También será necesario hablarles un poco de elipses, y demás cosas raras llamadas cónicas para aquellos que no han llegado a esos cursos de la prepa o los que se durmieron durante esas clases (sin embargo esto de cónicas será un resumen resumido :P).

Bueno, pues empecemos con un poco de Euclides. Euclides es muy importante, sobre en todo en el mundo de las matemáticas, porque debido a él, el método lógico-axiomático queda de alguna forma determinado. Él parte de 5 axiomas o postulados, y en base a ellos demuestra, en sus 13 libros, teoremas de geometría. Quizá, muy probable de hecho, Euclides no haya demostrado ninguno de esos teoremas, lo que se le atribuye a él, es haber organizado y expuesto todo ese “material” y como mencione, su método. La geometría también es muy importante dentro de la ciencia, como en física, astronomía, en algunas ingenierías. Nos sirve para describir el mundo que nos rodea, y entenderlo mejor.

Llamamos geometría euclidiana a aquella en la que se estudian las propiedades del plano y el espacio tridimensional, con los 5 axiomas que el mismo postuló. Veremos después que sucede con los que él no postuló.

Bueno hablo mucho de los 5 axiomas y no he dicho cuales son. Antes de mencionarlos, como dato, Euclides afirma que estos axiomas eran tan evidentes que no necesitaban de demostración alguna. Ustedes dirán que tan válido es decir esto:

  1. Dados dos puntos, se puede trazar una y sólo una recta que los una.
  2. Un segmento de recta puede prolongarse indefinidamente en cualquier dirección
  3. Dados un punto y un segmento, se puede trazar una circunferencia, con radio igual a la distancia del segmento.
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
  5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

¿Ven algún problema? Pues que los primeros 4 son evidentes, tomen un pedazo de papel y un lápiz, y vean que lo son. Pero tenemos un problema con el quinto. No es tan evidente como los primeros 4. Euclides lo utiliza hasta su demostración 28, antes de ella, sólo lo menciona al decir que es un axioma.

Postulado 5 de Euclides

Un problema que inquieto a muchos matemáticos durante mucho tiempo era ver si el quinto postulado era deducible de los otros 4 o que si era independiente de ellos y en verdad un axioma.

Paso mucho tiempo antes de encontrar la respuesta, demostrando que en verdad era independiente de los otro 4. Sin embargo se llegó a algo en verdad sorprendente. Primero reformulemos el quinto axioma en uno que es equivalente, es decir, que en el fondo podemos decir que es lo mismo. Y dice así:

       5.  Por un punto fuera de una recta, pasa una única recta que es paralela a la recta dada.

Esta es la formulación del quinto axioma más conocida y es llamada axioma de Playfair. Así formulado es un poco más evidente. Sigan dibujando y verán que sin considerar los errores del dibujo, las rectas no se intersectaran nunca aunque las prolonguemos de alguna forma.

Sin embargo durante el periodo de ver que si eran peras o manzanas se llegó a algo padre. Veamos la forma de pensar. O el quinto postulado es deducible a partir de los otros 4, o es independiente y existe una geometría que no lo admitía, y sin embargo no contradictoria. Una forma de resumir esto es que para demostrar un concepto de geometría euclidiana nos inventamos (o se inventaron) una “no euclidiana”.

Le llamamos así porque no cumple con los 5 axiomas de Euclides.

Entonces ¿qué sucede? Bueno, recordemos el enunciado de Playfair y neguémoslo. ¿Qué pasa si digo que por una recta pasan más de una recta paralela? Pues llegaremos a la geometría llamada geometría de Bolyai-Lobachevski, que fueron los primeros que llegaron a una geometría tan consistente como la de Euclides. Esta también es conocida como geometría hiperbólica

Sin embargo, no es la única forma de negar el quinto axioma. Ahora ¿qué pasa si digo que por una recta no pasa ni una recta paralela? Pues aquí encontraremos la geometría elíptica.

¿Pero ven lo padre de esto? Todos en su momento se dedicaron a demostrar que el quinto venia de los otros 4, sin embargo, pasó mucho tiempo para pensar que eso no era válido y encontrarse con algo que dentro de nuestra cabeza no puede suceder. Vean el dibujo que hicieron de sus paralelas. Imaginen ¿cómo es posible que en el mundo en el que estamos acostumbrados a vivir no exista ninguna, o que existe al menos otra aparte de la que ya tenían? ¿Qué utilidad le damos a esas geometrías que no sirven mas que para demostrar algo de geometría euclidiana?

Pues de eso hablaremos un poco más en siguientes entradas (vayamos alternando entre Sistema Solar y esto). Pero abordaremos un poco más, aparte de estas. Existen diversos modelos de la geometría hiperbólica. Pero también hablaremos un poco de la geometría de Minkowsky y demás.

Imagen:

http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

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4 comentarios el “Dragones y quimeras (parte 1)

  1. ¡Me fascino tu entrada, Alex! 😀 Ya quiero leer más (aunque si te veo, me tendrás que contar). ¡La geometría es super genial! 🙂

  2. Al momento de leer esta entrada, me recordó una anécdota que contó mi profesor de física en mi primer semestre:

    ¿Einstein utilizó geometrías no euclidianas para su Teoría de la Relatividad?

    Puede que me esté adelantando, de cualquier manera, muy buen aporte

    SALUDOS

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