Dragones y quimeras (parte III)

Geometría hiperbólica: modelo de Poincaré

Ya hablamos un poco de geometría euclidiana y acerca del quinto axioma. Hoy empezaremos negando el quinto axioma, teniendo un número  mayor de una paralela a una recta. Como ya comentamos existen muchos modelos para esta geometría, que iremos descubriendo poco a poco.

Y empecemos con el disco de Poincaré. Tomemos un disco sin tener la circunferencia, es decir, nuestro plano estará dado por todo lo de adentro sin la línea que lo delimita con el exterior. Ahora bien, definiremos un tipo de recta como los diámetros. Un diámetro en nuestra nueva geometría es una recta. Pero no son el único tipo de recta que tenemos. Como estamos hablando de geometría, usare muchas imágenes, así que si ven muchas, lo hago para su mejor comprensión, además, no se ustedes, pero a mi me gustan más las figuras cuando hablamos de geometría.

La línea punteada significa que no tomo a la circunferencia.

Ahora bien, como dijimos, tenemos  otro tipo de recta, y esta la definiremos como sigue: tomemos círculos ortogonales a nuestro plano, es decir, que sus radios formen un ángulo recto. Las rectas serán los arcos del nuevo círculo que estén dentro de nuestro plano.

Fijense que los radios forman un recto.

Ahora bien, nuestro nuevo quinto axioma se comporta muy bonito. En la figura, a, b y c son rectas en nuestro espacio. Entonces, por el punto p, tenemos dos rectas que son paralelas a la recta a. Tenemos aquí dos cosas interesantes. Primero a y c se dice que son divergentemente paralelas, ya que no tienen puntos en común, a y b son asintóticamente paralelas ya que si tomáramos también la circunferencia, estas rectas se cruzarían, pero como no la tomamos, son paralelas.

Las rectas son a, b y c.

Un ángulo entre dos rectas en nuestro modelo, se define como el ángulo que forman las tangentes euclidianas a nuestras nuevas rectas. De prepa, sabemos que la tangente a una recta euclidiana es la misma recta euclidiana. Como el diámetro es un segmento de recta euclidiano dentro de nuestro modelo, entonces la tangente del diámetro es el mismo diámetro. Pero para un arco de círculo si tenemos una recta tangente euclidiana. En la figura se ve mejor lo que intento decir. Tomemos dos rectas pa y pb. El ángulo entre las rectas por el punto p, será el formado por las rectas pa’ y pb’.

Ángulo entre dos rectas en este modelo.

Si me preguntan que tanta validez tiene esta definición de ángulo… Pues mucha!!! Este modelo se obtiene mediante una transformación conforme del plano euclidiano!!! Es decir, mediante una función, podemos hacer que todo el plano se encierre en el círculo. Eso significa que es una transformación. Lo de conforme, es que, bajo la transformación se conserva el ángulo. Es decir que si en el plano euclidiano medimos 30º, en el disco de Poincaré tenemos que medir 30º. Jeje pero eso es muy evidente :D.

Ahora construiremos triángulos y rectángulos. Y empecemos con los triángulos, en la figura podemos ver 3 de ellos (me salieron mientras dibujaba XD). Y ja, tenemos dos triángulos muy interesantes. El primero es el DBE. Créanme si les digo que la suma de sus ángulos es menor de 180º!!! Los otros dos ejemplos se ven mejores para ver esto tan extraño.

Triángulos.

En el triangulo ABC, AC es asintóticamente paralela a AB entonces la tangente de AB es AC. Eso implica que el ángulo CAB es de 0!!! Y los otros ángulos de este triangulo no miden 90º o más, entonces la suma de ángulos me da inferior a 180º. Esta muy padre, porque si recuerdan las equivalencias del quinto axioma euclidiano, tenemos que la suma de los ángulos de un triangulo es de 180º. No más, no menos. Y aquí ya no se cumple. No se ustedes pero esto para mi es muy emocionante.

Ahora que onda con los rectángulos. Y muajaja, si se lo sospechan, veremos que no se cumple otra equivalencia con el quinto axioma euclidiano: un cuadrilátero con 3 ángulos rectos, tiene su cuarto ángulo recto. Me estoy divirtiendo mucho haciendo esta entrada dibujando jejeje :p. Y ahora tomemos el rectángulo en la figura. Podemos ver, que 3 ángulos son rectos, pero el cuarto ya no!!! En verdad estoy es muy emocionante. Tenemos una nueva geometría totalmente consiste con sus axiomas, es decir, que no se contradicen entre ellos. Y va contra mucha de nuestra lógica. ¿Infinitas rectas paralelas?

Por ultimo, y lo deje al último porque necesariamente meteré una ecuacioncilla, veremos la distancia entre dos puntos.

Y aquí nos auxiliaremos de la distancia euclidiana (un teorema de Pitágoras). Denotemos a |pq| la distancia euclidiana entre dos puntos. Ahora bien, si |pa|, |pb|,|qa|,|qb|, denotan la distancia euclidiana entre p y a y así sucesivamente, tenemos que la distancia entre dos puntos dentro del plano se define:

Distancia entre dos puntos

Y esto queda padre, no podemos tener que los puntos estén en la circunferencia porque entonces lo de abajo se hace 0, y no podemos dividir entre cero. Y resulta convincente dado que los puntos sobre la circunferencia no pertenecen al plano. El valor absoluto grande significa que, como trabajos distancias y el logaritmo puede ser negativo, con eso lo hacemos positivo.

Y podemos hacer cosas interesantes dentro. ¿Recuerdan las teselaciones? Bueno pues aquí les muestro una muy padre en esta geometría.

Disco de Poincaré de rombitruncado.

También podemos tener una extensión y pasarnos al espacio, y lo que podemos obtener es la siguiente figura.

Bola de Poincaré en un espacio de dimensión 3 hiperbólico

Y wowowow acabamos de construir una geometría muy padre y sencilla de comprender!!! En la siguiente entrada les hablaré, de otro modelo muy padre (se suponía que era para esta entrada, pero tenia que ver unas cosillas de este modelo antes), que es el modelo de Klein.

Índice de imágenes:

Las primeras, son dibujos que hice para ustedes, y las puede usar quien quiera, no me enojo XD

Las últimas dos: http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_del_disco_de_Poincar%C3%A9

Si alguien esta interesado en un mejor análisis más matemático, puede consultar la siguiente página: http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_c/CMat35-1.pdf

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