Dragones y quimeras (parte II)

La entrada de hoy será super rápida, sólo veremos un poco de equivalencias con ese misterioso y sospechosamente sospechoso axioma 5 de Euclides que comenzamos a ver en la primera parte, y el mini repasín de cónicas que les prometí.

Empecemos por las equivalencias. Recordando, vimos ya una equivalencia al quinto axioma como lo había postulado Euclides: el axioma de Playfair con las paralelas. Pero veamos algunos más, interesantes por cierto que si negamos uno, los otros, por ende, no serán válidos; y comencemos con uno muy conocido:

  1. (Es muy conocido, desde la primaria de hecho). La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
  2. Rectas paralelas son equidistantes (que la distancia que hay de una a otra es la misma).
  3. Si tres ángulos interiores de un cuadrilátero son rectos, el cuarto ángulo es recto, dicho de otra forma, nos da la existencia de rectángulos.
  4. Con tres puntos no alineados, existe un círculo que pase por todos ellos, único de hecho.
  5. Si tenemos puntos que equidistan a una recta, y sólo por un lado de ella, constituyen una recta.
  6. Sobre una recta finita, se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado.
  7. Dado un triángulo, siempre tenemos triángulos semejantes, pero no congruentes

    Existencia de rectángulos

    .

Y puedo seguir, la lista es no muy larga, pero tampoco son muy pocos, pero dejemos estos 7, que a mi se me hacen los más evidentes de visualizar.

¿Para que los menciono? Para llenar la entrada, que un resumen no lo quería meter con las geometrías que veremos pero no será suficiente para llenar una buena entrada. Dato cultural. Es interesante ver como algo que se discutió acerca de su naturaleza, tiene mucho por explotar. Creo que esas son las razones principales para incluirlo en esta entrada.

Pasemos al resumen. Primero, imaginemos un cono (la parte que siempre hemos visto es la mitad de un cono). Ahora tomemos un plano y cortemos al cono de tal forma que el plano sea paralelo al circulo que se ve si es que tienen un cono de cartulina para su clase de primaria, obtendremos una circunferencia (se ve lógico si pensamos que lo de hasta abajo es una circunferencia también).

Ahora, si cortamos con un plano un poco enchuecado, obtendremos una elipse, si cortamos con un plano paralelo a la parte exterior del cono, lo que obtenemos es una parábola y si es totalmente parado el plano lo que obtenemos es una hipérbola. En la imagen se ve más claro lo que intento explicar.

Podemos ver que la hipérbola tiene dos ramas. En las figuras de abajo se pueden ver mejor algunas de las cónicas dibujadas sobre el plano. La elipse y la hipérbola tienen dos puntos característicos que se llaman focos (ahorita les doy la definición de cada una).

Secciones cónicas.

La que nos interesan en esta parte son:

Elipse: Lugar geométrico de los puntos en el plano, tales que la suma de las distancias de los focos al punto es constante.

Elipse

Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos en el plano, tales que la diferencia de las distancias de los focos al punto es constante.

En verde y azul, hipérbolas.

En la siguiente entrada de esta serie, empezaremos a hablar de geometría hiperbólica, más en concreto el modelo de Klein.

Por cierto, hay un aviso que a mi me da mucho gusto anticipar, tenemos dos integrantes nuevos en el Imperio, ellos son Jorge y Daniel, quienes gustosos participarán en este proyecto jeje pero si quieren saber más lean el domingo todos los detalles, por el momento no me queda más que decirles BIENVENIDOS!!!

Índice de imágenes:

[1] http://www.aulamatematicas.org/Historiasyjuegos/geometriasnoeuclideas.htm

[2] http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Parabola.html

[3] http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

[4] http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola

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