¿Penrose pavimenta mi libreta?

Una vez ya platiqué un poco acerca de lo que son los teselados. Ahora platicaré de uno muy especial que allí mismo comente como ejemplo. Pero empecemos diciendo quien fue Penrose.

Roger Penrose es un físico matemático ingles y maestro de la Universidad de Oxford. Hizo aportaciones muy importantes en el área de matemáticas y física, trabajando junto con Stephen Hawking (físico) y John Todd (algebrista y geómetra).

Podría describirles los trabajos que hizo pero son algo complicados de explicar, así que sólo diré que en 1974 descubrió lo importante en esta entrada: los teselados de Penrose.

Teselación de Penrose

Los teselados de Penrose son teselados no periódicos generados por un conjunto de baldosas (piezas) de Penrose, es decir, las piezas son las llamadas de Penrose y a los teselados formados por estas piezas son llamados teselados de Penrose.

Pero ¿por qué son tan importantes? Bueno, tienen algunas propiedades muy interesantes.

Como ya se dijo, es no periódica, es decir, si le sacamos una copia al teselado y la tratamos de encajar en la original, nunca podremos embonarlas de forma perfecta en otra posición que no sea la original. Cuando se cumple esto decimos que carece de simetría translacional (que por más que traslademos, no podremos tener el original)

Si tomamos una región limitada de este teselado, la encontraremos infinitamente en este teselado. Esta propiedad suena inútil en los teselados de la vez pasada, pero tratándose de un teselado sin simetría translacional es muy importante.

Un hecho muy interesante, es que cuando Penrose describió estos teselados en un documento llamado “papel de la estética en la investigación pura y aplicada” solo una quinta parte hablaba de estas figuras, pero el dijo que eran el tema central. También dice que se inspiro en un libro de Kepler “Harmonices mundi”, estudiando (en el libro de Kepler) los teselados pentagonales; que podemos extender a teselados de Penrose.

Teselado P1

Ahora también tendremos unas “reglas”, que más que nada es como podemos embonar las piezas, y sólo así se pueden embonar.

Como sabemos ya, los únicos teselados de figuras regulares que podemos hacer son 3: con triángulos, cuadrados y hexágonos. Sin embargo con pentágonos podemos hacer teselados incluyendo otras 3 figuras: un diamante, una estrella de 5 picos y 3/5 de estrellas de 5 picos. Además de esto, podemos poner a los pentágonos en 3 formas distintas y así tener 3 tipos de pentágonos teniendo en total 6 figuras: el diamante, la estrella, el pedazo de estrella y los 3 pentágonos (en la figura, marcados con 3 colores distintos). A este tipo de teselado se le llama P1

El P2 (que ya jugué un rato con él y es muy divertido) es el de las baldosas de la cometa y la flecha.  Como podemos ver, la cometa es un cuadrilátero y la flecha lo es pero convexo, además que se agregan unos trazos extra, que lo harán más interesante. Solo si estas formas extras coinciden con la de la otra figura, podemos hacer la forma. Es por eso que, por ejemplo, no podemos unir (como se ve en la figura) así como tal, y sí embonan, pero las líneas extras rojas nos lo impiden.

Baldosas de la cometa y flecha para teselado P2

El P3 tiene dos rombos, uno delgado y otro más grueso, y como en el anterior tiene líneas extras en su forma. Podemos tener 54 combinaciones con estas figuras, sin embargo, si queremos que este sea aperiódico, solo tenemos 7 combinaciones. La idea es la misma que en el anterior, unimos por las líneas extras. Podemos hacer ensamblados de tal forma que podamos hacer la cometa y la flecha. Un ejemplo de este tipo de teselado se puede ver en la primer figura.

Este último teselado tiene algunas cosillas interesantes:

Baldosas de rombo para teselados P3

La relación que existe entre rombos pequeños y grandes en un teselado infinito es la razón aurea (φ), que Luis hablara un poco mas después de este numerito.

Alrededor de una estrella formada por 5 rombos grandes podemos tener una espiral de Fibonacci.

Y más cosas un poco más complicadas acerca de la razón aurea.

También existen cosas interesantes dentro del mundo no matemático.

En decoración del arte de medio éste se ocupaba. Se ha observado que en el arte islámico medieval se utilizaba. En la Universidad de Western en Australia, el suelo es de baldosas de Penrose. El computólogo  Jos Leys ha hecho variaciones de este teselado. Incluso la compañía Pentaplex entro en juicio con Kimberly Clark por utilizar este tipo de teselados en un tipo de papal de baño.

Se ha llegado a observar que en la organización de de átomos en cuasicristales, este teselado es apreciable.

Como podemos ver este tipo de figuras tan simples como se podían ver en la entrada pasada, son un poco más complicadas e incluso algunas propiedades y aplicaciones aparecen siempre.

Suelo de la Universidad de Western en Australia

Índice de imágenes:

[1,2,3,4,5] http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrose

Anuncios

6 comentarios el “¿Penrose pavimenta mi libreta?

    • la idea es hacer un rompecabezas con muchas figuras, no solo es dibujarlas, se juega con el rompecabezazs, y armas las piezas, haciendo dos, ya solo sacas copias recortas y pegas en algo duro y a armar!!!!

  1. WOW había leído de las conformaciones de los cuasicristales (de hecho el premio nobel de química fue, a palabras simples, por demostrar que existen cuasicristales con geometrías que se creían prohibidas) pero viéndolo desde un punto de vista matemático, luce más bello y pienso que si uno como químico entendiera este tipo de temas y lo aplicara a las estructuras de las sustancias… ¡Cuántas cosas nuevas podríamos descubrir!

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s