¿Cómo invertir una esfera de adentro hacia afuera?

El otro día, mientras estaba de ocioso en el Internet, encontré un vídeo  muy interesante. Es sobre un famoso problema de topología diferencial: ¿es posible evertir una esfera? Evertir significa “sacar algo volviéndolo al revés”, es decir, queremos saber si podemos voltear una esfera, de forma que la cara de adentro quede fuera y la que estaba fuera quede dentro. Claro, sin hacerle agujeros.

Evidentemente esto no es posible en el mundo real, sin embargo, a los topólogos (y matemáticos en general) no les interesa las limitaciones del mundo real, así que usan su imaginación. Imaginemos por un momento que tenemos un material especial, muy flexible y con la propiedad de poder atravesarse a sí mismo. Sería muy divertido jugar con ese material si existiese, pero hay que tener cuidado, pues si le hacemos un pequeño dobles o corte, este se desintegra. D=

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¿Puede un Diablo atrapar un Ángel en un tablero infinito de ajedrez?

Soy Leonardo Ignacio Martínez Sandoval, un egresado de la Licenciatura en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Me gusta mucho hacer matemáticas y compartirlas.

Creo que México es un país que puede estar en el Top 20 de matemáticas. Ya hemos entrado al top 20 en otros aspectos, y me parece que las matemáticas no deberían ser una excepción.

Me encanta tener muchos proyectos, aunque algunos de ellos queden a medias. Me gusta vivir la vida a lo ancho, en vez de a lo largo.

En la historia de las matemáticas siempre han surgido problemas difíciles y divertidos. Es tan sólo cuestión de que a alguien se le ocurra una pregunta para que esta pueda tener muchas ramificaciones y los matemáticos se pongan las pilas para trabajar en un problema. Aunque muchas veces estos problemas son algo técnicos, otras veces son muy accesibles, y tienen que ver con cosas que conocemos frecuentemente, como grupos de amigos, coloraciones de mapas e incluso tableros de ajedrez. Sigue leyendo

¡Eso es absurdo!

Entre otras cosas, los matemáticos se dedican a resolver, crear y demostrar cosas. Hoy quiero hablarles de uno de los métodos más poderosos que hay para demostrar, la reducción al absurdo, una técnica milenaria que ya usaban maestros como Arquímedes y Euclides.

¿Cómo funciona la reducción al absurdo? Es muy sencillo. Supongan que quieren demostrar una proposición. Lo que hacemos al reducir al absurdo es suponer que es cierto lo contrario, y a partir de ahí, ir trabajando con las cosas que eso implica para encontrar una contradicción. Como en las matemáticas no puede haber contradicciones, asumir que es cierto lo contrario fue un error. Por lo tanto debe ser cierta la proposición.

En fin para no hacerlos más bolas vamos a ver algunos ejemplos muy padres:

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El Desafio

Paradojas de la Probabilidad (Parte 4)

Ya llevamos 3 entradas con paradojas de la probabilidad y podríamos seguirnos así, viendo más y más paradojas, y créanme que hay muchas más. Pero el chiste es que ustedes también sepan identificar y resolver estas paradojas, para que no los engañen y mejoren su intuición.

Así que ésta vez vamos a hacerlo más interactivo; los voy a desafiar con unos cuantos problemas que me he encontrado por ahí y por allá, cuya solución es contraintuitiva o “paradójica”. Piénsenlos y dejen sus respuestas en los comentarios. Si sus respuestas son correctas, las publicaré la próxima semana con el resto de soluciones. Voy a poner de donde provienen los problemas, pero confiaré en que no busquen las soluciones. Así que tomen su papel y lápiz y ¡prepárense para la batalla!

El primer problema viene del libro “Matemática para divertirse” de Martin Gardner

Varones contra mujeres.

George Gamow y Marvin Stern, en su estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madre de a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener más niños.

De esta manera, argumentaba el sultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de varones.
¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

El siguiente problema viene del libro “Juegos de ingenio y entretenimiento matemático” de Jean Pierre Alem.

Dentro de un sombrero hay 3 tarjetas. Una tiene las dos caras rojas, la segunda tiene una cara roja y una cara blanca y la tercera sus dos caras blancas. Sacas una tarjeta del sombrero. La cara vuelta hacia ti es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que se te oculta sea igualmente roja?

Y por último 2 problemas que vienen del libro “Fifty challenging problems in probability with solutions” de Frederick Monsteller

El dilema del prisionero

Tres prisioneros A, B y C han solicitado su libertad condicional. Se ha decidido que se van a liberar 2 de los 3 prisioneros, los prisioneros saben esto, pero no saben a cuales 2. Un carcelero, amigo del prisionero A, sabe quiénes van a ser liberados. El prisionero A se da cuenta que no sería ético preguntarle al carcelero si él, A, será liberado, pero piensa en preguntarle el nombre de un prisionero distinto de él, que vaya a ser liberado. Él piensa que antes de preguntar, sus probabilidades de ser liberado son 2/3. Pero si pregunta, y el carcelero le dice “B va a ser liberado”, sus probabilidades han bajado a 1/2, pues el otro prisionero liberado puede ser A o C. Entonces A decide no reducir sus probabilidades preguntando. Sin embargo, A está equivocado en sus cálculos. Expliquen.

El duelo de las 3 esquinas

A, B y C van a jugar un duelo de pistolas. Todos saben que A tiene una probabilidad de golpear a su adeversario de 0.3, C de 0.5 y B nunca falla. Jugaran de forma cíclica por turnos, empezando con A, luego B, y al final C. Aunque claro, si alguno recibe un balazo deja de jugar. Continúan jugando hasta que quede un hombre. ¿Cual debería ser la estrategía de A?

Y eso es todo. Así que ya saben, en la próxima entrada veremos las soluciones, con especial reconocimiento a quienes logren resolverlos. No son muy difíciles de resolver, solo necesitan un poco de ingenio. ¡Suerte!

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Actualización, pueden ver las soluciones aquí

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Otras entradas de la serie:

La paradoja del cumpleaños

El problema de Monty Hall

La paradoja de Bertrand