La paradoja de Bertrand

Paradojas de la probabilidad (Parte III)

Es hora de la tercera parte de ésta serie de paradojas de la probabilidad. Ya vimos la estrategia para ganarle a Chabelo (aquí), y vimos que no necesitamos un grupo muy grande de personas para encontrar una pareja que cumpla años el mismo día (acá). Esas “paradojas” fueron sencillitas y fáciles de demostrar, pero hoy ya vamos a ver una paradoja ya para niños grandes. La paradoja de Bertrand. Yo sé que les sorprenderá.

Imaginen que tienen un círculo, y dentro de él inscriben un triángulo equilátero. Ahora escogen una cuerda al azar (una cuerda es una línea recta que toca 2 extremos del círculo). ¿Cuál es la probabilidad de que esa cuerda mida más que uno de los lados del triángulo?

Y la paradoja es, ¡que podemos resolver este problema de varias formas distintas, todas ellas válidas y todas ellas con resultados diferentes! ¿Todas validas y con resultados diferentes? Si escucharon bien, quizá las matemáticas no sean tan exactas después de todo.

¡Vamos a ver estas soluciones!

El primer método es el método de “los puntos finales aleatorios”

Es muy fácil de entender con una imagen proveniente de Wikipedia

Escojan un punto al azar sobre la circunferencia. Su triángulo lo pueden trazar donde quieran, da igual, así que lo trazan con un vértice sobre el punto que escogieron. Luego, quedan 3 arcos donde puede “caer” el otro punto de la cuerda. Si ese punto cayera en el arco opuesto al punto donde trazamos nuestro triángulo, la cuerda medirá más. Así que en este caso la probabilidad que buscamos es 1/3

El segundo método se llama “el radio aleatorio”

En este método, tómense un radio aleatorio (dá). Luego escojan un punto del radio, y sobre ese punto, van a trazar la cuerda, de forma que quede perpendicular al radio (es decir que forme un ángulo de 90°). El triángulo lo van a dibujar, de forma que uno de sus lados también quede perpendicular al radio. Por ser un triángulo equilátero, este lado va a estar partiendo el radio justo a la mitad. La cuerda es mayor al lado del triángulo si el punto que escogieron está del lado más cercano al centro. Por lo tanto la probabilidad resultante usando este método es 1/2

(Para pensar: ¿Hay alguna cuerda del método anterior que no puedan construir con este método o viceversa? (Uy… ¿verdad que no?))

El tercer método se llama el método de “el punto medio aleatorio”

Este es un poco más complicado. Tomen un punto al azar dentro del círculo, y sobre ese punto van a construir su cuerda de forma que el punto que escogieron al azar sea el punto medio de la cuerda (Noten que solo una cuerda cumple eso con cada punto, exceptuando el centro claro). En este método no importa como escojan su triangulo, lo importante es el círculo inscrito en el, que tiene un radio igual a la mitad del radio grande (De hecho está propiedad también la usamos en el método anterior). Si el punto que escogieron al azar, “cayó” sobre el círculo inscrito en el triángulo, entonces la cuerda que construyan será más grande (Es un poco difícil entender porqué… noten que si su punto medio, está más cerca del centro, la cuerda será más grande, y que si ese punto medio cae exactamente en la orilla del circulo inscrito, entonces mide lo mismo que un lado del triángulo). Así que la probabilidad usando este método es igual a: (área favorable)/(área total) = $\frac{\pi(r/2)^2}{\pi(r)^2}=\frac{1}{4}$

(Nuevamente, para pensar: ¿Pueden pensar en alguna cuerda que solo se pueda obtener con alguno de los métodos? No, ¿verdad?…)

Y ahí lo tienen, estos son los métodos más conocidos pero hay más. La pregunta es, ¿qué método es el correcto? ¿Cuál es la probabilidad real?

Y la respuesta como ya les dije es: ¡todos los métodos están correctos! ¡No hay ninguna trampa en las demostraciones!

¿Pero cómo es esto posible? ¡Se supone que las matemáticas son exactas!

Bueno bueno ya, dejen de correr y arrancarse los pelos de la cabeza. Les voy a quitar el suspenso. No hay nada malo con las matemáticas. El «truco» de la paradoja está en una ambigüedad del problema.

El problema nos dice que hay que “escoger una cuerda al azar”. Pero no nos dice como hay que escogerla. Y ese es el chiste del asunto, podemos escoger la cuerda al azar de varias maneras, ya sea por “puntos finales aleatorios”, “radios aleatorios” o “puntos medios aleatorios”.

Y aquí es donde nuestro sentido común falla, pues aunque podamos construir todas las cuerdas posibles con cualquier método (todas tienen puntos finales, todas son perpendiculares a algún radio y todas tienen punto medio), lo cierto es que cada método «favorece» más a ciertas cuerdas que a otras.

Nuevamente esto se entiende mucho más fácil si vemos las imágenes que tiene Wikipedia. Vamos a construir muchas cuerdas e iluminar sus puntos medios con cada método, y vamos a ver que efectivamente, hay ciertas cuerdas que aparecen más en unos métodos que en otros.

Puntos finales aleatorios