Soluciones del desafío

Ahora sí, vamos a ver las soluciones al desafío que les dejé hace un par de semanas. Lamentablemente hubo muy poca participación =( creo que no les gusta la probabilidad…

Bueno veamos las soluciones, les pondré de nuevo el enunciado para que se acuerden y después la solución

———–

1) Varones contra mujeres.

George Gamow y Marvin Stern, en su estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madre de a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener más niños.

De esta manera, argumentaba el sultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de varones.
¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

———–

La respuesta es, NO, no funcionará la ley del sultán.

Como les dije en la pista de la semana pasada, tenemos que ver qué pasa en el tiempo. En lo que tenemos que fijarnos no es en la cantidad de mujeres en una familia, sino en la cantidad de mujeres en una generación.

En la primera generación de mujeres, la mitad tendrá varones y la otra mitad tendrá mujeres. Por la ley del sultán, solo las mujeres que tuvieron hijas, podrán seguir procreando, sin embargo, la mitad de ellas tendrá varones y la otra mitad mujeres. Y así sucesivamente.

Hice la siguiente imagen en Paint (un poco abstracta XD), para que se entendiera mejor. Con rojo represento a las mujeres, y con azul a los hombres. Cada nivel es una nueva generación en la familia. Noten que aunque las familias tendrán más mujeres, lo cierto es que entre cada generación nace la misma proporción de hombres que de mujeres.

La proporción entre hombres y mujeres en cada generación es la misma

Por lo tanto la ley del sultán no funcionará.

————

2) Dentro de un sombrero hay 3 tarjetas. Una tiene las dos caras rojas, la segunda tiene una cara roja y una cara blanca y la tercera sus dos caras blancas. Sacas una tarjeta del sombrero. La cara vuelta hacia ti es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que se te oculta sea igualmente roja?

———–

Este estaba un poco más sencillo aunque a nuestra intuición le gusta engañarnos con este viejo truco. En realidad es muy parecido al problema de Monty Hall.

Solemos pensar lo siguiente. Hay 2 tarjetas que tienen alguna cara roja, y evidentemente sacamos una de ellas. Una de ellas tiene atrás una cara blanca y la otra una roja, así que la probabilidad de que la cara oculta sea roja debe ser 1/2.

Pues ¡No! Piénsenlo así, la cara roja que están viendo puede ser la cara A de roja de la tarjeta roja-roja, la cara B de la tarjeta roja-roja, o la cara roja de la tarjeta roja-blanca. Así que en realidad su probabilidad es 2/3

———–

El dilema del prisionero

3) Tres prisioneros A, B y C han solicitado su libertad condicional. Se ha decidido que se van a liberar 2 de los 3 prisioneros, los prisioneros saben esto, pero no saben a cuales 2. Un carcelero, amigo del prisionero A, sabe quiénes van a ser liberados. El prisionero A se da cuenta que no sería ético preguntarle al carcelero si él, A, será liberado, pero piensa en preguntarle el nombre de un prisionero distinto de él, que vaya a ser liberado. Él piensa que antes de preguntar, sus probabilidades de ser liberado son 2/3. Pero si pregunta, y el carcelero le dice “B va a ser liberado”, sus probabilidades han bajado a 1/2, pues el otro prisionero liberado puede ser A o C. Entonces A decide no reducir sus probabilidades preguntando. Sin embargo, A está equivocado en sus cálculos. Expliquen.

————

Este fue el único problema para el que dieron una respuesta =). Muchas felicidades a Jetsabel, aquí les dejó su solución:

El dilema del prisionero es parecido a las catafixias de chabelo.
No sé bien si la explicación este correcta pero se me ocurre lo siguiente:

En si hay tres posibilidades:
ABc
AbC
aBC
(en mayúsculas los que serán liberados)

En cualquiera de los casos o B o C serán liberados.
y como a A le es indiferente cuál de los otros sea liberado en tanto que él sea liberado, asi q siendo B y C indiferentes para A, la información que le proporcione el carcelero sera trivial, y sus posibilidades siguen siendo 2/3.

¡Exactamente! Otra vez el truco de Monty Hall. Es cierto que hay 2 formas en las que él carcelero le diga “B va a ser liberado”, pero el chiste es que no “pesan” lo mismo. La primera es cuando van a liberar a A y B, donde siempre se lo dice, y la segunda es cuando van a liberar a B y C, donde se lo dice la mitad de las veces. Es decir que es más probable que le diga la primera. Por lo que su probabilidad sigue siendo 2/3.

————-

4) El duelo de las 3 esquinas

A, B y C van a jugar un duelo de pistolas. Todos saben que A tiene una probabilidad de golpear a su adversario de 0.3, C de 0.5 y B nunca falla. Jugaran de forma cíclica por turnos, empezando con A, luego B, y al final C. Aunque claro, si alguno recibe un balazo deja de jugar. Continúan jugando hasta que quede un hombre. ¿Cuál debería ser la estrategia de A?

————-

Aquí si había que meterle números, lo siento =)

Primero, obviamente no le va a querer disparar a C. Si le atina, está muerto, pues B le dispararía a él y B nunca falla.

¿Qué pasaría si le dispara a B?

Si no le da, B atacaría al que representa más peligro, es decir C. Entonces A tendría una nueva oportunidad con probabilidad de .3 de ganar, si vuelve a fallar pues ya se murió.

Si sí le da, entonces se batiría a un duelo contra C, con C teniendo la ventaja pues iniciaría con el primer disparo.

Puede que suene difícil calcular la probabilidad de ganar en una situación así, que se puede prolongar hasta infinito… pero en realidad es sencillo… si saben sumar. Solo hay que sumar la probabilidad que tiene de ganar en cada turno.

Por ejemplo para que gane en su 4to turno, debe darse la casualidad de que C haya fallado sus 4 tiros, y A haya fallado sus 3 tiros anteriores, por lo que la probabilidad de que gane en su 4to turno es el producto

(0.5)^4(0.7)^3(0.3)

Ahora simplemente hay que sumar sobre todos los turnos (la probabilidad que gane en el primero, más el segundo, más el tercero, ….)

Si, una suma infinita, pero confiaré en que conocen la serie geométrica

Entonces su probabilidad de ganar es de

(0.5)(0.3)[1+(0.5)(0.7)+(0.5)^2(0.7)^2+(0.5)^3(0.7)^3+...]=\frac{(0.5)(0.3}{1-(0.5)(0.7)}

=\frac{.15}{.65}=\frac{3}{13}

Notemos que 3/13 es menor que 3/10, entonces resulta que le conviene más batirse en duelo solo contra B, y dejarlo toda a su suerte en un solo disparo.

Así que si ustedes fueran A, lo que más les convendría sería disparar al suelo, o fallar adrede y en su siguiente turno intentar vencer a B.

Como pueden ver, saber probabilidad es un asunto de vida o muerte =).

Y con esto acabo con la serie de paradojas de la probabilidad. Ojala les haya gustado. Espero que la próxima vez que les ponga problemas haya más participación.

Tengo ganas de hacer más series pronto… ya las verán después…. pero díganme ¿qué otra serie les gustaría que hiciera próximamente?

Anuncios

3 comentarios el “Soluciones del desafío

  1. Buuuu, quería participar pero como es fin de semestre no tuve tiempo de intentar los problemas… amenazo con intentar los próximos…

    Fuera del contexto, es cierto que para calcular los dígitos Pi se utiliza la siguiente suma (intentaré ponerte lo mejor posible):

    Pi=suma desde n=0 hasta el infinito de (-1)^n / 2n+1

    Esto salió de una plática con varios amigos y uno me dijo que existen fórmulas para calcular Pi y esa era SOLO una de muchas… O,O!

    • Jaja ya será para la próxima…
      Creo que escogí mal momento para poner problemas… todo mundo anda ocupado XD

      Que curioso que menciones a Pi, justamente estoy pensando en hacer un par de entradas de él….

      Y si la formula que dices en realidad es para Pi/4, es la serie de Leibniz, y viene del desarrollo de arctan x

      Y si, hay muchas más, unas están bien locas, y sirven para calcular muchos dijitos de Pi de golpe

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s