El problema del cumpleaños

Paradojas de la probabilidad (Parte I)

Yo sé que a muchos de ustedes les gusta pensar en paradojas. Sí, sí… yo sé que les encanta viajar en el tiempo y matar a su propio abuelo para luego no nacer y no matarlo. Pero no, aquí en el Imperio queremos mucho a nuestros abuelos, así que hoy vamos a empezar una pequeña serie de post sobre paradojas un poco distintas: paradojas de la probabilidad. Y que mejor forma de empezar que con un problema muy famoso: “El problema del cumpleaños”. El problema dice lo siguiente: ¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas cualesquiera en un grupo de n personas cumplan años el mismo día? Suponiendo que no hay personas que hayan nacido un 29 de febrero, claro.

Ahora les pediré que piensen un segundo. ¿Cuántas personas necesitaran para que esta probabilidad sea mayor al 50%? Nuestra experiencia nos dice que seguramente necesitaremos muchas. Es muy raro que nos encontremos a alguien que coincida con nuestro cumpleaños, seguramente pasará lo mismo con grupos pequeños.

Bueno, pues he aquí la “paradoja” pues resulta que basta con un grupo de 23 personas para que la probabilidad sea del ¡50.7%! ¿Qué no me creen? ¡Perfecto! Porque yo tampoco lo creí la primera vez que lo escuche. Así que vamos a demostrarlo.

Empecemos con un caso sencillo, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas cualesquiera coincidan en sus cumpleaños?

Ah ¡pues muy fácil!, hay 365 días en un año y solo pueden coincidir en 1. Así que la probabilidad sería de \frac{1}{365}\cdot{}100=0.27\%

Y sí ahora tenemos 3 personas? Digamos A,B y C. Ya no es tan sencillo. Tendríamos que sumar las probabilidades individuales de que coincidan A con B, B con C, A con C, y que los 3 coincidan al mismo tiempo. Es decir, tendríamos que calcular 4 probabilidades distintas, y sumarlas. ¿Podemos hacerlo? ¿Funcionaría hacerlo así? Y sí, sí podemos hacerlo de esa forma, pero sería un trabajo tedioso. ¡Imagínense hacer eso con 23 personas! Son muchas las combinaciones que tendríamos que calcular.

Para evitarnos todas esas cuentas vamos a hacer algo más inteligente: calculemos la probabilidad opuesta, es decir la probabilidad de que nadie coincida en el cumpleaños. Si a 100% le restamos la probabilidad de que nadie coincida, obtendríamos la probabilidad de que al menos 2 coincidan.

¡Genial! Ahora sólo tenemos que calcular la probabilidad de que 23 personas no coincidan en sus cumpleaños, y a 100% restarle ese resultado. Pero, ¿cómo calculamos la probabilidad de que no coincidan?

La probabilidad de que B no coincida con A es \frac{364}{365}, la probabilidad de que C no coincida con B ni con A es \frac{363}{365}, y así sucesivamente hasta que lleguemos que la persona 23, cuya probabilidad de no coincidir con las otras personas sería \frac{365-23}{365}=\frac{342}{365}. Ahora, todas esas probabilidades individuales deben ocurrir al mismo tiempo, así que las multiplicamos, y así obtenemos la probabilidad de que nadie coincida.

(\frac{364}{365})(\frac{363}{365})...(\frac{342}{365})=0.493

Y finalmente la probabilidad de que 2 personas cualesquiera en un grupo de 23 personas coincidan en sus cumpleaños sería:

1-(\frac{364}{365})(\frac{363}{365})...(\frac{342}{365})=0.507

Que en porcentajes es un 50.7% como queríamos demostrar. Pueden hacer las cuentas si no me creen.

La fórmula anterior se puede generalizar para cualquier cantidad n de personas

1-\frac{365!}{365^n\cdot{}(365-n)!}

Si se ponen a jugar con ella descubrirían que con solo 57 personas obtendrían una probabilidad de 99%. Evidentemente el 100% lo alcanzarán hasta que tengan 366 personas. ¿¡Verdad que está muy loco!? En si no es ninguna paradoja, es algo que ocurre de verdad. Lo llamamos paradoja solo porque contradice nuestro sentido común.

Como diría el genial Richard Feynamn “…la ‘paradoja’ es solamente un conflicto entre la realidad y lo que tu sientes que la realidad ‘debe ser’.”

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Otras entradas de la serie:

El problema de Monty Hall

La paradoja de Bertrand

Y para los valientes:

El desafio con otras paradojas interesantes para pensar.

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4 comentarios el “El problema del cumpleaños

  1. Yeah! Me encanta eso de calcular la probabilidad opuesta y restarsela al 100%, siempre es ayuda para evitarse algunas cuentecillas largas… ¬¬. Muy padre el concepto de paradoja, muy padre la entrada, esperaremos la segunda parte 🙂

  2. Tema muy interesante, no hay más que leer los comentarios en muchas páginas de internet donde se trata el problema del cumpleaños, para comprobar que es antiintuitivo. En muchas páginas de internet se trata el tema, no sólo en wikipedia.

    Recomiendo una página donde se trata el tema pero también se citan direcciones interesantes sobre el asunto.

    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/03/el-problema-o-paradoja-del-cumpleanos.html

    En general, casi todo lo que atañe a la probabilidad contradice bastante a la intuición.
    Te recomiendo que busques en google la frase “el azar no tiene memoria” para profundizar sobre el tema.

    Además la página siguiente contiene información sobre otra paradoja relacionada con la probabilidad: el problema de Monty Hall
    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/paradoja-de-monty-hall.html

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