¡Eso es absurdo!

Entre otras cosas, los matemáticos se dedican a resolver, crear y demostrar cosas. Hoy quiero hablarles de uno de los métodos más poderosos que hay para demostrar, la reducción al absurdo, una técnica milenaria que ya usaban maestros como Arquímedes y Euclides.

¿Cómo funciona la reducción al absurdo? Es muy sencillo. Supongan que quieren demostrar una proposición. Lo que hacemos al reducir al absurdo es suponer que es cierto lo contrario, y a partir de ahí, ir trabajando con las cosas que eso implica para encontrar una contradicción. Como en las matemáticas no puede haber contradicciones, asumir que es cierto lo contrario fue un error. Por lo tanto debe ser cierta la proposición.

En fin para no hacerlos más bolas vamos a ver algunos ejemplos muy padres:

1) El ajedrez de jugada doble tiene las mismas reglas que el ajedrez normal, con la excepción de que cada jugador puede hacer uno o dos movimientos seguidos. Demostrar que el jugador que inicia el juego, tiene una estrategia para al menos quedar en tablas.

Intentar resolver este problema buscando la estrategia que se menciona sería una tarea brutalmente imposible. La cantidad de combinaciones es demasiado grande. Ni las computadoras más poderosas de la actualidad podrían lidiar con esa tarea titánica.

Así que vamos a suponer lo contrario, que no existe tal estrategia, es decir, que el primer jugador siempre pierde (pues el segundo jugador tiene la estrategia ganadora). Pero el primer jugador puede mover un caballo 2 veces, de forma que regrese a su posición inicial, pasándole el turno al otro jugador. Ahora el segundo jugador es el primero, y por lo tanto debe perder, ¡Contradicción!

En el ajedrez de jugada doble, el primer jugador tiene una estrategia no perdedora

¡Vieron que sencillo y hermoso fue eso! Vamos con otro problema

2) Un plano se ha coloreado usando 2 colores. Demuestre que se puede hallar un segmento de longitud 1 cuyos extremos son del mismo color.

Este está más sencillo. Supongamos por el contrario que sí hay una forma de colorear el plano donde todos los segmentos de lado 1 tienen extremos de distinto color.

Ahora dibujemos sobre ese plano un triángulo equilátero ABC, con lados de tamaño 1. Ahora, como supusimos que los segmentos de longitud 1 acaban con colores distintos, los colores de los puntos B y C deben ser distintos entre sí, y al mismo tiempo distintos al color del punto A. ¡Contradicción! Pues solo disponemos de 2 colores.

Lo padre de ese problema es que no importa como coloreen su plano, ni cuanta imaginación le pongan, simplemente dibujen su triangulo, y ¡ta-da! El problema dice longitud 1, pero sigue siendo valido para cualquier longitud.

Si cambiamos un poquito el problema tendremos un problema abierto propuesto por Paul Erdös y Hugo Hadwiger, que al día de hoy no tiene solución: Hallar el menor número de colores que se necesitan para que los puntos que se encuentran separados a una distancia 1 sean siempre diferentes.

3) Por último veamos el problema quizá más famoso de la reducción al absurdo: la irracionalidad de raíz de 2. Este problema es tan importante debido a que revoluciono el mundo antiguo, pues los pitagóricos creían que toda la geometría y en general el universo se podría expresar mediante razones entre los números, es decir con números racionales. Resulta que la raíz de 2 no viene siendo más que la diagonal de un cuadrado de lado 1. En fin, vamos a ver la prueba….

Un simple teorema de Pitágoras

Recordemos que los números irracionales son los números que no se pueden escribir en términos de una fracción a/b donde a y b son números enteros, y b distinto de 0.

Así que supongamos por el contrario que la raíz de 2 es un número racional, es decir \sqrt[]{2}=\frac{p}{q} , además supongamos que ya está en su forma simplificada.

Entonces si elevamos todo al cuadrado tendremos que 2=\frac{p^2}{q^2}, lo que implica que 2q^2=p^2

El lado derecho de la igualdad es par por el 2. Eso implica que p^2 también debe ser par. Como par x par es par e impar x impar es impar, p debe ser par.

Es decir que p es de la forma p=2r. Por lo tanto p^2=4r^2

Entonces, al sustituir tenemos que

2q^2=4r^2

q^2=2r^2

Esto significa que q también es par. ¡Contradicción! Pues habíamos supuesto que la fracción p/q no se podía simplificar más.

Por lo tanto raíz de 2 es irracional. ¡Que padre! Acabamos de echar a la basura la filosofía de la escuela pitagórica =D. ¡Ven el poder de la reducción al absurdo!

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2 comentarios el “¡Eso es absurdo!

  1. Si solo me hubieran enseñado lógica de esta manera… quien sabe, a lo mejor me hubiera ido a filosofía o lógica en lugar de química…

    SALUDOS

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