El Teorema de la Bola Peluda

¿Alguna vez han intentado peinar una bola peluda? Y no, no me refiero a peinar sus cabezas, sino una esfera tal cual, cubierta de pelo por todos lados. ¿No? ¿Seguros? Está bien, yo tampoco, de hecho creo que jamás he visto una bola perfectamente cubierta de pelo. Pero bueno no importa, aunque el teorema de hoy nos hable de bolas peludas no necesitaremos una para entender de qué trata.

¿Se acuerdan que hace un par de semanas les hablaba de que son los campos? (aquí) Bueno, el teorema de la bola peluda tiene algo que ver con eso. Si no la leyeron, no se preocupen, es  muy fácil entender que dice el teorema sin saber nada de matemáticas.

Hagamos un poco de memoria, un campo es un espacio en el cual a cada punto le asocian un valor. En este caso el espacio será la superficie de una esfera y a cada punto le asociaremos un vector tangente, es decir, una flechita que solo toca a la esfera una vez.

Por eso se llama teorema de la bola peluda, porque pueden pensar en cada vector como si fuera un pelo de la esfera. Ahora, nos falta pedir una cosa más antes de ver que dice el teorema: estos vectores tangentes no se deben tocar entre sí. Es decir, queremos que la bola quede perfectamente bien peinadita (como Benito Juárez =D)

La pregunta es, ¿podremos hacerlo? ¿Peinar a la esfera de forma que ningún par de pelos se crucen entre sí?

¡La respuesta es que no!, el teorema nos dice que necesariamente existe un punto donde el vector asociado debe ser el vector 0, es decir, ¡un punto de calvicie! La siguiente imagen tomada de Wikipedia puede ilustrar esto. Como pueden ver, al intentar peinar la bola es imposible escaparse de los remolinos.

¿Y eso es todo? ¡Claro que no! El teorema tiene muchas curiosidades y consecuencias interesantes. Por ejemplo, ¿Qué pasará en esferas en otras dimensiones? ¿Se podrán peinar o no?

Resulta que si la esfera vive en un espacio de dimensión par, entonces sí se puede peinar (por ejemplo, el círculo que es la esfera en dimensión 2, se puede peinar fácilmente) pero en las esferas de dimensión impar no se puede.

Puede que sea prácticamente imposible imaginar cosas como esferas de 4 o 5 dimensiones, pero eso no es problema para las matemáticas. Objetos como esos se describen fácilmente cuando se habla el lenguaje de las ecuaciones.

El teorema no solo es válido para esferas, en realidad se cumple para cualquier superficie topológicamente equivalente a la esfera. ¿Qué es eso? Bueno, pueden pensar en la esfera como un material de goma muy flexible con el que pueden jugar y moverlo como se les antoje, siempre y cuando no le hagan agujeros, ni intenten pegar cosas que no estaban unidas antes. Cualquier figura que hagan de esta forma, es topológicamente equivalente a la esfera. Eso significa que él teorema es válido para cosas como piedras peludas, manos peludas, animalitos peludos, o lo que quieran peludo.

De hecho, si le hicieran un hoyo a su esfera, lo que obtendrían sería un toro (o una dona si gustan), y resulta que ésta superficie si se puede peinar fácilmente.

¡Yomi yomi!, una dona peluda

Ahora, quizá algunos se están preguntando ¿sirve de algo el teorema o solo es una curiosidad matemática? ¡Pues claro que sirve! Por ejemplo, se puede aplicar a la meteorología, pensando a la tierra como la bola y el viento como los vectores tangentes a ella. El teorema nos dice que siempre hay un punto en la tierra donde no está soplando el viento.

Físicamente, los puntos donde la velocidad del viento es cero, se interpretan como el ojo de un ciclón o anticiclón. De qué tamaño es este ojo, o el tamaño del ciclón, ya es otra historia, y el teorema no nos lo puede decir. Sin embargo, esto será  cierto para cualquier capa de la atmósfera que se agarren. Como ejercicio les dejo pensar ¿pasará lo mismo en otros objertos? por ejemplo el aire alrededor de un balón de fútbol.

Siempre hay un ciclón en la tierra. Pero no necesariamente tan grandes como éste.

Ya ven que fácil y divertido fue entender el teorema. Lo cierto es que demostrarlo es un  verdadero desafío, se necesitan matemáticas muy avanzadas. Ya por último como cereza del pastel: El teorema fue originalmente propuesto por Poincaré, uno de los más grandes en la historia de las matemáticas, y resuelto unos años después en 1912 el matemático y filósofo danés por Brower.

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P.D. ¡Ojo! si son calvos no se vale echarle la culpa al teorema, ustedes no son bolas completamente peludas
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P.D. 2 Esta entrada participa en la edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas que este mes se celebra en Gaussianos

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Imágenes

[1] y[2] Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem

[3]   http://daeliluna.blogspot.mx/2010/09/ciclones.html

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2 comentarios el “El Teorema de la Bola Peluda

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