Teoría del Caos (Parte III)

Fractales

“¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo “frío” y “árido”? Sí, es incapaz de descubrir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porqué ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo.”

Benoît Mandelbrot

Llegamos a la parte final de esta serie de entradas sobre Teoría del Caos y que mejor para cerrar que con un tema tan fascinante como los fractales. Aquí les dejo enlazado la Parte I y la Parte II, por si les falla la memoria tanto como a mí.

Antes de empezar, les comparto los dilemas que tuve al escribir ésta entrada ¿Cómo a abordar el tema? ¿Cómo relacionarlo con lo que ya vimos en las otras entradas? Y llegué a la conclusión que lo mejor sería, apartarnos un poquito de la Teoría del Caos y explicar desde cero los fractales, y conforme fuéramos avanzando ir recordando las cosas que ya vimos.

Dicho esto, empecemos viendo de donde salen los fractales.  Recordaran que los sistemas caóticos que vimos ocurrían por que se repetía varias veces una operación. Bueno, pues eso es justamente lo que vamos a hacer ahora.

Eso quiere decir que vamos a ponerle un poco de matemáticas al asunto, (¡No!, ¡no huyan!) solo para aclarar ideas. Descuiden, solo vamos a sumar unos cuantos números chiquitos.

La operación que vamos a efectuar es varias veces será esta:  x^2+c. Esto de repetir la operación varias veces se entiende mucho más fácil si la escribimos recursivamente de esta forma  x_{n+1}=x_n^2+c Es decir, vamos a tener una sucesión de números, donde el siguiente número se obtiene al elevar al cuadrado el anterior y sumarle un número c. Ahora, lo único que nos falta es un punto donde empezar, que será x_0=0 ¿Y la c? Ah pues justamente es la c la que vamos a estudiar, veremos que ocurre con nuestras operaciones con distintos valores de c. Es decir, vamos a ver a donde se va la sucesión, si converge a algún lado, si se va a infinito o que onda. (¿Qué les recuerda esto?… ¡exacto!, los atractores ¿verdad?)

Veamos qué ocurre si escogemos c=1

x_0=0

x_1=0^2+1=1

x_2=1^2+1=2

x_3=2^2+1=5

x_4=5^2+1=26

En este caso, se puede ver que si continuamos repitiendo la formula la sucesión se nos escapa a infinito

Veamos qué pasa con otro valor de c. Ahora probemos con c=0.5

x_0=0

x_1=0^2+0.5=0.5

x_2=0.5^2+0.5=0.75

x_3=0.75^2+0.5=1.6025

Y si continuáramos veríamos que también se va a infinito, pero más lentamente que con c=1.

Si ahora tomamos c=0

x_0=0

x_1=0^2+0=0

x_2=0^2+0=0

x_3=0^2+0=0

Con este valor de c, es claro que no se escapa a infinito y siempre permanece en el 0.

Veamos con  c=-0.5

x_0=0

x_1=0^2-0.5=-0.5

x_2={-0.5}^2-0.5=-0.25

x_3={-0.25}^2-0.5=-0.4375

x_4={-0.4375}^2-0.5=-0.3086

En este caso podemos ver que con cada operación el resultado se pone a saltar entre el -0.5  y 0. Eventualmente convergerá a un valor cercano -0.366.

Por último veamos con c=-1

x_0=0

x_1=0^2-1=-1

x_2={-1}^2-1=0

x_3=0^2-1=-1

En este caso, no converge a ningún punto, pero tampoco se va a infinito. Se la pasa brincando entre el -1 y el 0. En este caso podemos decir que esta “acotada” entre el -1 y el 0.

Y con esos ejemplos es más que suficiente. ¿Verdad que no fue tan duro? Ya vimos que con ciertos valores de c, al hacer las operaciones los resultados se pueden escapar a infinito, en otros convergen a cierto valor y en otros simplemente se quedan acotados entre en un par de valores.

Esta es la idea con la que nacieron los fractales. En los años 70’s hubo un señor llamado Benoit Mandelbrot, que gracias a la ventaja de la computación hizo este mismo ejercicio, usando la misma formula, pero con números complejos (no entraré en detalles sobre los números complejos, sólo deben saber que cada número complejo se puede representar como un punto en el plano cartesiano).  Lo que acabamos de hacer sólo fue en una dimensión con números reales.

Luego, se puso a colorear, pero siguiendo ciertas reglas. Si al hacer las operaciones convergía a cierto punto o estaba acotada, se pintaba de negro. Y si escapaba al infinito, se coloreaba dependiendo de la velocidad con la que éste se escapaba (entiéndase “velocidad con la que se escapaba” como el número de pasos que le tomaba a la sucesión llegar a un valor grande). Así de sencillo.

El resultado de colorear de esta forma el plano da como resultado el conjunto de Mandelbrot, que se ve así:

El conjunto de Mandelbrot

Y eso, damas y caballeros, es uno de los fractales más importantes que han existido. El conjunto de Mandelbrot. Es tan importante este conjunto que revoluciono muchas ideas no solo en las matemáticas, si no también en el mundo. (¡Ya ven!, y solo necesitaban saber sumar y colorear). Desde luego, hay otros tipos de fractales, que se construyen con “operaciónes” distintas.

Para mí la mejor forma de entender los fractales es verlo en un video. Solo vean todas las formas que hay e intenten imaginar si ya han visto eso antes en algún otro lado. Si son observadores, notaran que las figuras que se forman son distintas dependiendo de la zona donde hagan zoom.

¿Qué pasa con las orillas? Supongo que notaron que no están bien definidas. Muchas tenían formas chistosas, algunas parecian los contornos de una costa, las ramas de un árbol o de un rayo. Con algo de imaginación habrán visto figuras como de neuronas, montañas, nubes, vórtices y espirales.

Yo se que una duda que los atormenta todos los días y les quita el sueño es ¿dónde puedo encontrar fractales? Pues bien, la respuesta es muy simple ¡En todos lados!

En los rayos

En la lluvia

En los árboles

En los cristales de hielo

Hojas de helechos

En las montañas

En las nubes

Y muchos lugares más. Esto esta muy bonito, aunque supongo que algunos de ustedes se estarán preguntando ¿Qué tiene que ver esto con la Teoría del Caos?

Pues resulta que  los fractales tienen muchos usos, entre ellos es posible predecir cosas como caídas en la bolsa de valores, el clima, el crecimiento de una flor o fuertes terremotos. De hecho, se supone que Mandelbrot predijo las 2 últimas caídas de la bolsa de valores… y obviamente nadie le hizo caso.

¡Ya sé lo que están pensando! ¿Pero cómo? Llevo 2 entradas diciéndoles que si algo que se comporta caóticamente, entonces no se puede predecir con exactitud. Y ahora les estoy diciendo que en realidad sí se puede. ¿Por qué?

Bueno la respuesta es algo rara. Ni siquiera yo la entiendo del todo. Tomen su fractal favorito. Si observan “la orilla” su fractal, van a ver figuras muy locas y a veces caóticas, con muchos bordes, puntas y curvas. Pero si la observan de forma más “global”, van a ver que todo esta bien ordenado y de forma regular. Es por eso que observando el comportamiento “global” de los fractales, es posible anticipar peligros como una caída en la bolsa.

Es decir, no pueden utilizar los fractales para predecir los números que tendrá una acción al día siguiente (es como la “orilla” de un fractal) simplemente es imposible. Sin embargo, sí pueden usar los fractales para predecir caídas en la bolsa (porque es como el comportamiento “global” del fractal). Sí, a mí también me costó trabajo asimilarlo. ¡Imagínense cuantos millones se hubieran ahorrado de haber escuchado a Mandelbrot! ¡Se dan cuenta del poder de los fractales!

Hoy solo les di una probadita de lo son los fractales. Pero no les hable de los otros tipos de fractales que hay, ni de sus dimensiones, aplicaciones, impacto en el mundo, etc etc. Desde hace tiempo Yasab (Pitheas) tiene ganas de escribir sobre ellos, así que dejaré todos estos temas que no toque para él XD

Bueno y con esto doy por terminada esta serie de entradas sobre la Teoría del Caos. Espero que les haya gustado y haber cambiado aunque sea un poquito su visión del mundo. Y que ahora cuando vean una nube o un árbol, se acuerden de los fractales y de cómo las Matemáticas están en todos lados. Hasta en su sopa y su café (si, ahí también hay fractales, solo deben estar atentos).

Si les gustaron los fractales, en internet podrán encontrar una inmensa cantidad de ellos. Yo solo les puse fractales que encuentran en la naturaleza, pero se sorprenderán cuando vean la cantidad de fractales que se pueden hacer en la computadora.

Aquí les dejo unas cuantas galerías de fractales para que se entretengan un rato:

http://www.infinitezoom.com/index.htm

http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm

http://fractals.hauner.cz/index

http://www.aliciadangelica.com.ar/fractales-sp.html

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Teoría del Caos (Parte I)

Teoría del Caos (Parte II)

 

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8 comentarios el “Teoría del Caos (Parte III)

  1. ¡Yeah! ¡Fractales! De casualidad no conoces alguna página para escuchar los fractales… Un prof. de Química me comentó alguna vez, que existen discos de música fractal, pero no más no los encuentro…

    Excelente entrada.

    • Umm… nunca había escuchado de eso…
      He escuchado de música con los dígitos de Pi, o con la secuencia de fibonacci… pero fractal no…
      Lo más parecido que se me ocurre, son los registros de voz y sonido, que también tienen formas fractales

  2. Garma, en definitiva cerraste con broche de mithril tu serie de Teoría del Caos. Tanto el texto como el video me gustaron mucho, yo vi neuronas, montañas, árboles, nautilos y cosas que parecían espadas.
    Pero hay algo que me intriga mucho: dices que con los fractales podemos predecir el comportamiento de sistemas caóticos… ¿Acaso por ventura estás diciendo que podemos predecir el comportamiento de la mismísima evolución? Porque esta sería la más loca de todas las cosas locas que haya escuchado de las matemáticas en la biología. Cielos, no podré dormir.

    • Jaja gracias por tu comentario Carlos

      Y justamente esa es la parte más extraña. Para hacer esta entrada, me base entre otras cosas en un programa de radio de divulgación científica (el explicador, lunes a viernes, de 8 a 9 pm, por 102.5 XD). Al parecer lo que se puede predecir es cuando se acerca un “peligro”. Osea un cambio brusco en el comportamiento global. Es decir quizá no puedas predecir como evolucione cierta especie en especifico, pero quizá si puedas decir cuando se acerque un cambio fuerte. A decir verdad, no estoy muy seguro que condiciones tienen que cumplir los sistemas para que se puedan hacer estas predicciones. Pero quien sabe, quizá si se pueda.

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