El teorema de la raqueta de tenis

¿Alguna vez han intentado hacer girar una raqueta de tenis? Si nunca han jugado tenis es probable que no, sin embargo estoy seguro que todos han intentado hacer girar muchos objetos en su vida, como cajas, libros, envases de comida, etc. ¿Han notado que el giro se vuelve un poco caótico en ciertas direcciones?

El teorema que vamos a ver hoy no es un teorema matemático, sino un teorema físico, que nos explica por qué ocurre un fenómeno muy curioso (llamado efecto Dzhanibekov) al hacer girar objetos poco simétricos (como las raquetas de tenis) sobre distintos ejes. No quiero arruinar la sorpresa, pero les aseguro que es algo sorprendente.

La mejor forma de observar el efecto, es hacer el experimento uno mismo. Si no tienen una raqueta a la mano también pueden usar un libro. El experimento es muy sencillo, simplemente hay que hacer girar el libro sobre distintos ejes como se muestra en la siguiente imagen (que hice usando mis asombrosas habilidades de Paint) y observar que ocurre. Les recomiendo usar una liga si no quieren que su libro se abra mientras lo hacen girar.

¡Hagan el experimento! ¡No sean flojos!

¿Listo? ¿Qué ocurrió? Seguramente habrán notado que fue fácil hacer girar el libro sobre los ejes x y z. Sin embargo, apuesto a que a más de uno se le cayó el libro cuando lo hicieron girar sobre el eje y. El movimiento de su libro repentinamente se volvió caótico ¿verdad?.

Ahora les pregunto, ¿pudieron observar con detalle ese movimiento caótico? Probablemente no, debido al poco tiempo que tienen entre el momento del lanzamiento y la atrapada. Así que para ilustrar que ocurre exactamente en ese movimiento, los dejo con este video del mismísimo Vladimir Dzhanibekov, astronauta uzbeko, que descubrió este curioso fenómeno durante una de las misiones de la Unión Sovietica.

¡Así es! Si pudieran ver en cámara lenta el giro de su libro, hubieran observado lo mismo que en el video. ¡En su movimiento, el libro cambia su eje de rotación 180° periódicamente! ¡Es increíble! Yo no me lo creí cuando lo vi por primera vez.

Momentos de inercia y el teorema de la raqueta de tenis

Explicar este movimiento en realidad no es muy difícil, pero se requiere un previo conocimiento sobre los momentos de inercia y las ecuaciones de Euler. Mi objetivo en esta entrada no es demostrar el teorema pero al menos intentaré explicar los principios básicos detrás del teorema.

El momento de inercia lo podemos pensar como una medida que nos dice que tan fácil es hacer girar un cuerpo sobre un cierto eje. Entre más grande es el momento de inercia, más difícil será hacer girar el cuerpo sobre ese eje. Como ya habrán observado en su libro, un cuerpo tiene muchos momentos de inercia diferentes, dependiendo de la dirección sobre la cual lo quieran rotar.

El momento de inercia depende en gran medida en como este distribuida la masa del objeto. En general, es más fácil hacer girar los objetos si su masa está concentrada cerca del eje de giro.

Por ejemplo, imaginen una escoba. Si toman el palo de la escoba como eje de giro, el momento de inercia es pequeño, pues casi toda la masa de la escoba está cerca del palo, por lo tanto es fácil hacerla girar en el eje del palo. Sin embargo, si toman como eje de rotación el centro del palo, el momento de inercia es más grande, pues la masa de la escoba está más alejada del eje de rotación.

Es más difícil hacer girar la escoba por el eje 2, pues el momento de inercia es mayor. Imagen: Wikipedia

Lo mismo ocurre con nosotros, los humanos. Cuando una bailarina extiende sus brazos está cambiando la distribución de su masa, y la está alejando de su eje de rotación. Por lo tanto su momento de inercia aumenta y girar se vuelve un poco más difícil y por lo tanto su velocidad disminuye.

Ahora sí, lo que todos han estado esperando ¿Qué dice el dichoso teorema?

Tomen un cuerpo con momentos de inercia I1, I2 e I3 en sus 3 ejes de rotación principales. Si se cumple que I1>I2>I3, en una cantidad más o menos razonable, entonces la rotación sobre los ejes con momentos de inercia I1 e I3 será estable, mientras que la rotación sobre el eje con momento de inercia I2 será inestable (una pequeña variación lo hará salir del equilibrio)  Eventualmente llega un punto en que la inestabilidad ha crecido tanto, que el cuerpo cambia súbitamente su eje de rotación 180° (pues el momento angular se debe conservar). El giro seguirá siendo inestable así que el ciclo se repite.

En particular, este efecto se observa fácilmente en las raquetas de tenis, y por eso el nombre del teorema. Igual se podría llamar el «teorema del libro» o el «teorema del martillo», pero no sonaría tan interesante.

Para terminar, aquí les dejo otro video donde lo explican con una raqueta de ping pong:

Para ver más:

Si les interesa ver una demostración más formal del  teorema, en la Wikipedia hay una demostración sencilla. Como les digo, no es muy difícil de demostrar, pero se requiere conocer las ecuaciones de Euler, y saber interpretar un par de ecuaciones diferenciales sencillas. Vale la pena verlo. Tennis racket theorem