¿Por qué 2+2=4?

Soy Alberto Meléndez, estudió la licenciatura en matemáticas y mis intereses son la física matemática así como la biología matemática; escogí este tema para ser mi primera entrada al foro porque es una pregunta simple que encierra lo difuso que pueden ser las bases mismas de las matemáticas, y en general la ciencia. Me parece interesante que esta pregunta se contestó en buena medida hasta mediados del siglo XIX, lo que implica que antes de ello solo se apelaba al por qué. Por cierto, cuando era niño, me hicieron esa misma pregunta, y luego me empezaron a hablar sobre los dogmas de la vida. Ahora veo que, no porque las respuestas sean intrincadas, significa que no existan. Más aún, cuando empecé a documentarme para la preparación de esta publicación me encontré con que la comunidad no matemática está muy desubicada, la información disponible es un tanto obscura. Es hasta cierto punto es comprensible el porqué, hacer divulgación matemática es complicado, quizá más que en física o en biología, se debe suponer conocimientos, y hablar sin ecuaciones es dejar las cosas muy al aire. Espero publicar en posteriores ocasiones y ojalá les guste mi primera aportación a este foro creado por amigos.

Si alguien quiere que publique algún tema en específico solo deje un comentario y con gusto lo abordaré.

Les pregunto a mis lectores, ¿Han pensado seriamente en esta pregunta? ¿Creen que solo es ociosidad? Y si no resiste la tentación, primero el postre, (si la resiste pase al segundo párrafo, ¡ya no lea!) la respuesta es por cómo se definió la función suma en los números naturales. Claro que esta respuesta esta coja, pero al menos da un primer acercamiento a algo fundamental, y es definir un objeto matemático, para que se comporte como nos gustaría que lo hiciera.

Supóngase que tiene un sobrino de 6 años, y éste (niño listo) le pregunta, -¿por qué 2+2=4?- Usted  podría tomar los dedos de la mano y apelar a que los cuenta, pero el pequeño continua,- no me convences, por que los números y los dedos son objetos distintos, además necesitaría muchos dedos para sumar 26 mas 37-, luego usted  podría omitir su comentario diciendo niño burro que no entiendes e irse y reflexionar sobre que esas preguntas son misterios de la vida sin respuesta. Si usted acepta que 2+2=4 sea un dogma, ello no resuelve por qué 26+37 es 63, luego hay muchos pero muchos dogmas por aceptar. Hablando más seriamente, es vital para el desarrollo de las matemáticas tener una respuesta certera de estas preguntas, de lo contrario uno podría caer rápidamente en paradojas, y de ello se dieron cuenta los matemáticos del pasado cuando empezaron a trabajar con series, o con  conjuntos infinitos. Un ejemplo sencillo donde se ejemplifica mi punto es tomado de un clásico de las matemáticas. Considere un la suma infinita 1-1+1-1+1-1+… luego si se agrupan los términos de esta manera (1-1) + (1-1) + (1-1) +… “claramente” el valor de esta suma es cero. Por otro lado si asociamos de esta forma 1 + (-1+1) + (-1+1) +… es “lógico” que suma uno, luego ¡1=0! Aquí el error del argumento es definir qué se entiende por “sumar infinitamente”

Con la consciencia lastimada, llega a su casa y “googlea” ¿Por qué 2+2 es igual a 4?, e increíblemente encuentra (ya lo hice para preparar esta publicación) pura basura en las páginas principales, hasta que entra a este foro.

Para adentrarnos en la respuesta, necesitamos echar mano de unas nociones sencillas del conjunto de números naturales. En primer lugar observe que sumar es asignar a dos números un único número que le llamamos (ingeniosamente) la suma de estos. Luego si recuerda de sus clases de secundaría,  le definieron que una función, (por ejemplo f(x)= 2x+3) es una regla de correspondencia que asigna a cada número, otro único número determinado por la regla. Luego viene la simple deducción, que una suma es una función que toma dos números, y  le asigna otro único número, así puede explicarse porque 2+2≠5.  Quizá no sea del todo nítido, pero puedo decir sin que sea del todo un chiste, 2+2 no es 5 porque 2+2 es igual a 4, y la suma arroja un único valor. Por tanto, sólo falta indagar sobre cual es esta función o si lo prefiere regla de correspondencia.

Es lógico suponer que todo número natural tiene un sucesor (y de allí que sea infinito, por cierto le dejo al lector un problemita, ¿existe algún conjunto infinito que cuando se enumere, sobren números? O dicho de otra forma, ¿es él infinito de los naturales “el infinito más pequeño”? La respuesta esta al final, pero intente contestarlo) y todo número distinto del cero tenga un antecesor, que denotaremos por S(n) y A(n) respectivamente, así S(0)=1, S(1)=2, A(2)=1,etc. Entonces la pregunta original se transforma en justificar 2+S(S(0))=4 (esto se debe a la cadena de igualdades 2+2=2+S(1)=2+S(S(0))=4). Ya empezamos con ecuaciones, pero esta es la manera más sucinta de explicarlo, además créame que me esforcé por meter las menos posibles, y en el lenguaje más simple, así pues vale la pena quebrarse la cabeza un poco descifrando algunos garabatos, y entender uno de los “misterios de la vida”. Quizá llegado a este punto usted ya vio por dónde va la construcción de la función suma, y esto es otro paso intuitivo si se piensa de esta manera, si supiéramos cual el valor de m+A(n),  entonces podríamos saber cual el valor de m+n , sólo bastaría sumar uno, o de otra forma saber cuál es su sucesor; se puede pensar como si usted estuviera subiendo una escalera, si usted estuviera en el penúltimo peldaño podría llegar al último, pero para llegar al penúltimo usted debería llegar al antepenúltimo y así puede argumentar hasta pensar en subir el primer escalón. Resumiendo estas observaciones, en la suma SE QUIERE que se satisfaga  m+n=m+S(A(n))= S(m+A(n))= S(S(m+A(A(n))) y así sucesivamente (se escucha más sofisticado, recursivamente), pero es claro esta cadena tiene un inicio y el inicio es cuando A(A(…(A(n))…)=0, es decir tomando n-veces el antecesor de un número n se llega al cero, pero esto se reduce a las concepciones básicas de sumar un cero, o bien empezar a subir la escalera.

Por tanto, se resumen estas observaciones en la siguiente definición:

La suma + (de números naturales), es una función cuyo dominio es  cualquier par de números naturales (m,n), que se simboliza como +(m,n):= m+n y que satisface:

1)      m+0 = m

2)      m+S(n) = S(m+n).

¿Cuándo cree usted que se adoptó esta definición de suma? ¿Cómo se explicaba la gente antes lo que en realidad estaba haciendo al sumar? La respuesta de cuando se adoptó no la encontré pero una definición formal de número natural surgió en a mediados del siglo XIX, y la propuso el filosofo y matemático Italiano Giuseppe Peano, en aquellos años la gente estaba fascinada sobre el poder de la teoría de conjuntos, que se acababa de forjar, y sobre que se entendía antes, sería meter mucha historia, pero en resumen se apelaba a un argumento inductivo.

Por cierto, si insisto en poner números naturales es porque esta definición no es válida en otras clases de números, por ejemplo para la suma de números reales, ¿puede explicar por qué? Y la definición de suma se basa en un argumento recursivo que se justifica con la propia construcción de los naturales, es decir cosas técnicas pero importantes que falta detallar, que se resume a pensar si es válido decir matemáticamente etcétera.

Así la cereza del pastel es demostrar que 2+2=4; si quiere puede intentar la prueba sólo es más ilustrativo; se tiene lo siguiente:

2+2 = 2+S(S(0) = S(2+S(0))= S(S(2+0))=S(S(2)=S(3)=4.

Aquí estoy seguro que sabrá donde se utilizó en cada paso la definición de suma, (y no tiene que ver con que sea tortuoso para mi explicar cada paso jaja)

Llegado a este punto usted podrá correr muy feliz y decirle a su sobrino la respuesta de su pregunta, a lo que su sobrino le podrá contestar –ahora que entiendo porque 2+2=4 me puedes decir qué es un número- jajaja.

Ahora bien, podemos definir que es un unicornio pero esto no implica que existe tal, del mismo modo podemos definir la suma, pero no hemos probado que esta exista, aparte de sus propiedades más básicas como la asociatividad (es lo mismo sumar primero 2 mas 2 y al resultado sumarle 3, que sumar primero 2 mas 3 y al resultado sumarle 2), conmutatividad (lo que hasta hay una leyenda, el orden de los factores no altera el producto, y muchísimas veces se cree que esta máxima es generalizable, pero tan simple como considerar la composición de funciones para ver un fracaso) y a su vez usar esta función suma para definir la multiplicación. La moraleja es que esto solo es una pequeña introducción para intentar justificar un hecho básico, pero las propiedades de esta función se encuentran en el corazón de, ¿qué  son los números (naturales)?.

Ahora bien, si ya se siente feliz por saber sumar, le preguntó a usted, ¿por qué el método (algoritmo) como nos enseñaron a sumar en la primaria funciona? Es decir, si usted tiene que sumar dos números feos (con más de tres dígitos) por qué poner la casita funciona.

Esta respuesta es más simple si está familiarizado con el sistema decimal (que de hecho lo está, pero no se acuerda de sus clases) por cierto sabía que utilizamos el sistema decimal por un accidente anatómico, lo usamos por qué tenemos diez dedos. La idea es simple, y posiblemente la vio en primaria, se tiene que  26 =  2*101 + 6*100, mientras 37 = 3*101 + 7*100, entonces se tiene 26 + 37 =  (2*101 + 6*100) + (3*101 + 7*100) (creo que es más engorroso leerlo que escribirlo, pero ya casi viene el paso fino)  (2*101 + 3*101) + (6*100 + 7*100) = (2 + 3)101 +(6+7)100

Y aquí es la magia de su maestra de primaria, (6+7)100 = 6+7 =13 = 1*101 + 3*100 Ahora regrese a la casita, ¿no le enseñaron, -6 +7 es igual a 3 y llevamos 1-?pues ya puede saber que significa esa frase, y solo por terminar, lo demás es muy simple

(2 + 3)101 + (6+7)100 =  (2 + 3)101 + (1*101 + 3*100) = (2+3+1)*101 + (3*100) aquí es la frase 2+3 y el uno que llevavamos (2+3+1)*101, que final y felizmente se concluye con (2+3+1)*101 + (3*100) = 63

Por último la respuesta a la pregunta de si “existe un infinito más pequeño” que el de los naturales, es No, pero esto será otra publicación.

Bibliografía:

Moschovakis,Y., Notes on set Theory, Springer , Second Edition, 2006. Undergraduate Texts in Mathematics.

Bravo M.,Rincón H.,Rincón, C., Álgebra Superior, Las prensas de la ciencia, 2006.

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3 comentarios el “¿Por qué 2+2=4?

  1. Es la primera vez que leo una explicación tan sencilla. Me gustan mucho los trabajos de Peano aunque mi filósofo favorito es Bertrand Russell. Me sé una anécdota donde Russell fue a una conferencia que Peano estaba dando y se quedó tan maravillado que casi casi le pidió su autógrafo.

    Excelente entrada =)

    SALUDOS

  2. Siento que fuiste muy “rollero” y pues no me gustó mucho, sugiero que leas la pag 70 y 71 del libro “Historia e Historias de Matemáticas” de Mariano Perero

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