Contemos los números

Hola, soy Luis Alberto Telésforo y a mis 20 años estudio la licenciatura de matemáticas en la Facultad de ciencias de la UNAM; y lo hago, en primera, por azares del destino y en segunda, me gusta saber cómo y por qué pasan las cosas que nos enseñan. La ciencia es más de lo que cuenta la televisión de la gente con bata. Para mí este tema es muy interesante porque cuando comencé la carrera no tenía una verdadera idea de lo que son las matemáticas y esto te dice que son más que hacer cuentas. En la entrada de hoy les hablare’de contar los números.

Contemos los números. Sí, contemos los números. Bueno, antes de contarlos aprendamos a contar como contamos los matemáticos; es decir, entendamos que es contar como nos han enseñado; y para esto un ejemplo.

En la escuela los primeros números que nos presentan son aquellos que nos sirven para contar. ¡Aprendemos a contar con los números naturales (\mathbb{N}) sin que nos digan que es contar! O siquiera saber a ciencia cierta que es \mathbb{N}, pues nos dicen, ya en el bachillerato, que los Naturales son \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\} y para ese entonces entendemos que los tres puntitos significan que no hay algo así como el último número. Los siguientes números que conocemos son los racionales \mathbb{Q} , cuando aprendemos fracciones, y los enteros \mathbb{Z}, al enseñarnos a restar. Y a estos nos los dibujan así: \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} y \mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\} donde aprendemos a no dividir entre cero y que tampoco hay algo así como el primer número. Nos dicen después, o antes pero seguro en la misma clase, que \mathbb{N} son los enteros positivos. Tengo una pregunta interesante: ¿Qué hay más, naturales o enteros? Es decir, ¿Qué conjunto es más “grande”, \mathbb{N} o \mathbb {Z}? Para dar la respuesta debemos trabajar un poco. En este momento podemos decir que \mathbb{Z} es más grande porque los naturales son los enteros positivos. Podríamos asegurar que hay 2 veces más enteros que naturales pues por cada positivo hay uno negativo (más uno, con el cero). También podríamos decir que hay una infinidad de números y es absurdo pensar que hay algo más grande que el infinito ({\scriptstyle \infty}< {\displaystyle \infty} ¿así o cómo?).

ábaco

¿Hay más enteros que naturales? ¿Hay el doble de enteros que naturales? ¿Se puede pensar en algo más grande que el infinito?

Lo interesante es que ¡no, no y no!. Aunque los naturales son enteros, el todo no siempre es más grande que las partes (¡Euclides se equivocó!). No hay dos veces más números enteros que sólo enteros positivos (naturales) o sólo enteros negativos y sí hay algo más grande que el infinito, de hecho hay más de un infinito, una infinidad de ellos, cada uno más grande que los anteriores. Entonces, ¡¿Cuál es la respuesta?! Recordemos como contábamos; a cada objeto a contar le asignamos un único número: 1-pera, 2-peras, 3-peras,…, n-peras. A la primera pera le asignamos el uno, a la siguiente el dos, a la siguiente el tres y así hasta llegar a la última y le asignamos n. ¿Cuántas peras? Tantas como el último número utilizado,n peras. Además como costumbre lo hacemos en orden, es decir de modo creciente y de uno en uno, pero nada nos impide hacer las cosas diferentes podemos contar de dos en dos, de tres en tres o de adelante para atrás.

Ahora sí, contemos enteros: 0 \rightarrow 0, \: 1 \rightarrow -1, \: 2 \rightarrow 1, \: 3 \rightarrow -2, \: 4 \rightarrow 2, \: 5 \rightarrow -3, \: \ldots.
La forma en que los estoy es, en general:
n \rightarrow \frac{n}{2} si n es par;
n\rightarrow -\frac{n+1}{2} si n es impar.
Así contamos a los enteros, es decir hallamos la manera de asignar a cada entero un único número de los que sirven para contar. ¿Cuántos enteros? Tantos como naturales. No todos quedan convencidos, ¿verdad? Estoy contando a los enteros positivos (informalmente a \mathbb{N}) con los pares positivos y a los enteros negativos con los impares positivos, lo que quiere decir que hay tantos pares positivos como \mathbb{N} y tantos impares positivos como enteros negativos y, por lo tanto, tantos pares como \mathbb {N}. ¿Esto es en serio? ¿O es sólo algo así como una ilusión o paradoja matemática? Esto es totalmente cierto; déjenme explicar porque, pero antes daré algunas definiciones intuitivas.

Una función es una manera de asignar (relacionar) a los objetos de algún conjunto A los de un conjunto B de manera que a cada uno de los objetos de A le asignemos uno sólo de los de B. Si f es una función de los objetos de A en los de B y x es un elemento de A denotamos al único objeto de B asignado a él como f(x). Decimos que f es biyectiva si para cada elemento de B hay uno sólo de A que le es asignado; es decir, todo elemento de B lo puedo ver como f(x) con un único x en A; así, una función biyectiva es “emparejar” los elementos de A con los de B sin que ningún elemento de A o de B se quede sin pareja. Contar es encontrar una función biyectiva entre los objetos que queremos saber cuantos son y un conjunto que sepamos cuantos elementos tiene (el conjunto de los primeros n números naturales mayores que cero, tiene exactamente n elementos); emparejamos nuestros objetos con los primeros n números y además casi siempre lo hacemos uno por uno. Sin embargo no tenemos porque contar sólo cantidades finitas. Para un matemático lo finito es aburrido, así, la idea de contar se extiende para contar al infinito. Contar en matemáticas es sólo decir, a través de las funciones biyectivas, que un conjunto tiene tantos elementos como otro, sin importar que tan grande es, o como sean sus elementos. De esta manera decimos que dos conjuntos son equipotentes, que tienen la misma cantidad de elementos (y por lo tanto se parecen mucho, porque tener n manzanas se parece a tener n peras, en que ambas son n) si existe una función biyectiva entre ellos.

Volviendo al problema de contar los números, lo que queremos saber no es precisamente cuantos números son, porque ya sabemos que son muchos, lo que queremos saber es a que otro conjunto “se parecen”. Y por cómo hemos contado a los enteros construimos una función biyectiva (dejando a las mentes curiosas y ávidas de saber comprobar que la función que dimos es biyectiva) entre los Naturales y los Enteros, y de paso dejamos entrever que hay tantos pares como naturales y tantos impares como enteros. Pero esto no acaba ahí pues también hay tantos naturales como racionales (¡pero si entre dos naturales hay una infinidad de racionales!) ¿Por qué se dan estas relaciones tan raras entre los conjuntos? Porque estamos trabajando con cantidades infinitas, sí; para aquellos que crean que el infinito es algo inexistente, que es tan grande que es más grande que cualquier otra cosa y que no se puede alcanzar, les traigo buenas noticias, el infinito no sólo se alcanza sino que se pasa y, como dije antes, se alcanzan infinitos más grandes que el de los Naturales. Lo que nos confunde es que no estamos acostumbrados a trabajar con cosas tan relativamente grandes y no conocemos sus propiedades (muy distintas a las cosas finitas).
El infinito (mejor dicho, los infinitos) son muy interesantes, y lo primero que debo decir es que aunque los naturales son una infinidad entre los infinitos son de los más chiquitos, de hecho son tan poquitos que si tomamos a los números reales (los Racionales junto con los Irracionales, como \pi, \, \sqrt{2}) ya son demasiados, es decir los Naturales no son equipotentes a los Reales. Sí se puede algo así como {\scriptstyle \infty} < {\displaystyle \infty}, aunque en realidad se escribe \aleph_0<\aleph_1 (alef cero menor que alef uno). La historia de los “alefs” es tema de otro artículo pues las cosas infinitas deben tratarse con más cuidado. Por cierto \aleph_0 es la “cantidad” de naturales que hay y \aleph_1 es la “cantidad” de Reales que hay bajo la Hipótesis del continuo. ¿Cuantos números hay? En conclusión más de los que creemos pero no tantos.

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[1] ábaco, por Alexander de Luca en Flickr.com. Liberado bajo una Licencia Creative Commons By 2.0.

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2 comentarios el “Contemos los números

  1. Aprovechando que hablaste de los infinitos… esta entrada me recordó sobre una conferencia acerca de la “densidad numérica”

    Genial entrada.

    SALUDOS

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