Teoría de Campos

Hoy vamos a hablar de un objeto muy utilizado en las matemáticas y en la física: los campos. Pero para poder hablar de ellos primero necesitamos una idea de que son y para qué sirven, así que empecemos con un ejemplo:

Imaginen que están en su casa felices leyendo el Imperio desde la comodidad de su sofá,  cuando de repente, les da curiosidad por sentir que hay a su alrededor. Notan por ejemplo, la pequeña brisa que viene desde la ventana, y de hecho notan que es una brisa fresca. Tiene sentido, pues dentro de su casa hace más calor que afuera. También pueden sentir el peso de sus cuerpos al estar sentados sobre el sillón, pero como ya se cansaron de estar sentados, deciden levantarse para ver qué otras cosas se encuentran. Lo primero que notan es que la brisa que sentían en su sillón ya no es la misma, y la frescura que ésta tenía tampoco. Se acercan al televisor y sienten como les da ligeros toques en la mano.  Siguen moviéndose, y descubren que hace más calor cerca de la cocina, pues se está cocinando una sopa. Van al baño, y mientras se lavan las manos sienten como el agua corre sobre ellas. 

En fin, ahora como buenos científicos deciden que quieren estudiar y describir todas esas sensaciones que sintieron. Se ponen a pensar un poco y se dan cuenta que todas esas sensaciones, dependían  de cierta forma del lugar en donde las experimentaban. La temperatura y la dirección del viento dependían de donde estaban con respecto a la ventana y la cocina. La dirección del agua corriendo, dependía de como colocaban sus manos. Bueno, pues esta es la idea detrás de los campos.

Un campo es un espacio (como su casa), en el cual, a cada punto le asocian un valor. Ese valor puede ser cosas como la velocidad del viento, la temperatura, la fuerza de gravedad, la fuerza eléctrica, etc. De hecho, históricamente, los campos fueron introducidos para poder explicar la acción a distancia de las fuerzas de gravedad, eléctrica y magnética.

Hay muchos tipos distintos de campos, dependiendo de qué cosa sea la que les asociamos. Por ejemplo a los campos a los que se les asocia un escalar (es decir, un número cualquiera, como la temperatura o la presión) se les llama “campos escalares”. A los que se les asocia un vector (es decir, una cantidad que tiene cierta magnitud y dirección, como la velocidad del viento o la fuerza de gravedad) se les llama “campos vectoriales”.

Una forma de visualizar los campos escalares es usando “superficies de nivel” que nos muestran todos los puntos que tienen el mismo valor. Por ejemplo, los mapas topográficos, que se usan para describir la altura del terreno o las imágenes que muestran las cámaras térmicas, que colorean con colores rojos las zonas más cálidas de la imagen.

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Una forma sencilla de visualizar los campos vectoriales es usando “líneas de campo”, que mediante flechas que indican el sentido en el que va el campo. De ejemplo pueden ver la tierra y  su campo gravitacional, o un imán y su campo magnético. Otra utilidad de las líneas de campo es que dan una idea de que tan intenso es el campo en distintas regiones. En las zonas donde hay más concentración de líneas de campo, la magnitud es más grande.

Hay otros tipos de campos, como los “campos tensoriales” que son a los que a cada punto se le asocia un tensor. Estos campos se utilizan mucho por ejemplo en la relatividad general de Einstein o en la física de materiales. También están los “campos espinoriales” que son una generalización de todos los campos anteriores. Estos se utilizan mucho en la mecánica cuántica y en la teoría cuántica de campos. Sí, suena muy interesante, pero por el momento no hablaremos de estos campos.

Volvamos a los campos escalares y vectoriales. Matemáticamente, estos campos se describen usando funciones de varias variables (porque dependen de varias cosas, como la posición en x, la posición en y, la posición en z, el tiempo, etc) Por eso los campos son tan útiles e importantes, porque les podemos aplicar ¡todo el poder del cálculo diferencial e integral!

Por ejemplo, a los campos escalares se les puede sacar un “gradiente” que nos dirá como se separan las superficies de nivel, o mejor dicho, como cambian cuando nos movemos en cierta dirección. Como ejemplo, el gradiente de un campo que describe la temperatura alrededor de una fogata en un bosque, nos dirá que el cambio de temperatura es más brusco si nos acercamos directamente a la llama. Pero también nos dirá que si nos movemos en círculos no notaremos cambio de temperatura, pues es la misma.

El operador que nos permite calcular el gradiente se llama “operador nabla” y se representa con el símbolo griego \nabla , que es la palabra para arpa. Al final al calcular el gradiente de un campo escalar se obtiene un campo vectorial, donde las flechitas indicarán en qué dirección hay un mayor cambio.

En los campos vectoriales se pueden calcular muchas cosas más. Por ejemplo, pensemos en el campo vectorial que describe las velocidades del agua en una tina de baño. Se puede calcular que tanto rota en cada punto, calculando el “rotacional” del campo. Se puede calcular de donde salen estas velocidades (la llave de la tina) , y a donde van a parar (el drenaje) calculando la “divergencia” del campo. Se puede calcular que tanto fluye a través de un aro o una burbuja imaginaria, usando “integrales de superficie”. Qué tanta energía nos costaría mover una pelota siguiendo alguna trayectoria usando “integrales de línea”.

En fin, me tardaría un buen rato explicando a detalle todas estas cosas. Si gustan lo haré, solo díganme en los comentarios. Pero el chiste es que vean porque son tan importantes los campos. ¡Son un montón las cosas que se pueden describir gracias a ellos!

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P.D Está entrada participar en la edición XXXI del Carnaval de la Física que este mes se celebra aquí mismo, ¡en el Imperio!

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Imágenes

[1] Map.mx http://www.map.mx/mapa-de-mexico/

[2] Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Thermographic_camera

[3] Antonine Education Website http://www.antonine-education.co.uk/Pages/Physics_4/Fields/FLD_01/Fields_1.htm

[4] Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)

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4 comentarios el “Teoría de Campos

  1. Me consta que son útiles… en electroquímica utilizamos campos para explicar el gradiente de concentración, desde el seno de la reacción hasta el electrodo…

    SALUDOS

  2. Pingback: El Teorema de la Bola Peluda | Imperio de la Ciencia

  3. Pingback: Resumen del XXXI carnaval de la física | Imperio de la Ciencia

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