Comprendiendo el Infinito

¿Qué es el infinito?

Una respuesta intuitiva podría ser “algo que no tiene fin”, pero eso es poco preciso. Un círculo tampoco tiene fin, en el sentido de que no podemos señalar en donde empieza y en donde acaba, y sin embargo no decimos que un círculo sea infinito.

Para poder hablar y entender bien al infinito necesitaremos usar algo de leguaje matemático. Específicamente necesitamos hablar de lo que son los conjuntos. Un conjunto lo pueden pensar como una colección de objetos; puede ser cualquier cosa, perritos, números, planetas, etc. A estos objetos se les llama “elementos del conjunto”.

Para poder decir si un conjunto es finito o infinito, necesitamos hablar de lo que es hacer una  correspondencia uno a uno entre dos conjuntos. Esto es muy fácil, hacer una correspondencia uno a uno solo quiere decir que a cada elemento de un conjunto le van a asociar un elemento de otro conjunto. Por ejemplo, el conjunto de dedos en la mano, se pude poner en correspondencia con el conjunto de dedos en los pies. Un conjunto de siete ovejas se puede hacer corresponder con un conjunto de siete árboles, asociando a cada oveja un árbol. Sin embargo, no se puede hacer corresponder el conjunto de siete ovejas con un conjunto de cinco piedras. Si, ya sé que parece muy básico pero es importante.

Decimos que un conjunto tiene n elementos, si podemos hacer una correspondencia uno a uno con el conjunto los números naturales menores o iguales a n. Recuerden que los números naturales son los números con los que contamos {1,2,3,4….} Cuando un conjunto tiene 0 elementos decimos que es el conjunto vacío, que es muy útil en las matemáticas, pero por ahora no nos va a interesar.

¡Ahora sí ya podemos hablar de la definición de  infinito! Decimos que un conjunto es finito si existe un número n tal que n es el número de elementos del conjunto. Decimos que es infinito, si no es finito.

¡Va! Aquí acaba la parte técnica, que estuvo bastante sencilla. Ahora ya estamos listos para empezar a explorar las propiedades del infinito, algunas de ellas hasta parecen paradójicas, en especial cuando se las observa por primera vez. Una famosa forma de ilustrar estas propiedades es con….

 El hotel de Hilbert

Supongan un hotel común y corriente, con una cantidad finita de habitaciones, todas ellas ocupadas por alguien. Si a este hotel chafa llegara una nueva persona, sería imposible asignarle una habitación, pues ninguno de los huéspedes está dispuesto a compartir su habitación. (Es decir, no se puede hacer una correspondencia uno a uno entre las habitaciones y las personas en el hotel)

Este problema no lo tiene el poderoso hotel de Hilbert, porque el hotel de Hilbert es un hotel infinito. Pueden imaginarlo como un hotel con las habitaciones numeradas y dispuestas linealmente. Es muy fácil ubicar la primera habitación, pero jamás encontraran la última.

¡Miren nada más cuanto lujo en el hotel de Hilbert!

Ahora supongan que tenemos la misma situación, todas las habitaciones ocupadas por algún huésped. Llega una nueva persona buscando habitación. ¿Lo pueden acomodar? Lo interesante es que sí, porque todos los huéspedes son cooperativos, y se pueden mover de su habitación si se los piden. Entonces, fácilmente le pedimos a todos que se muevan a la siguiente habitación (todos pueden hacer esto), y con eso, quedará libre la habitación 1 para el nuevo huésped. Noten que esto lo pueden hacer con cualquier número finito de personas. Si llegará un googolplex de personas, solo les pedimos que se muevan un googolplex de habitaciones a la derecha.

Esta propiedad se traduce en lo siguiente: Si a un conjunto infinito le agregan (o quitan) una cantidad finita de elementos, el conjunto resultante sigue siendo infinito. O en un lenguaje más coloquial: Infinito más uno = Infinito. Lo importante de esto es que como se pudo hacer la correspondencia uno a uno ¡ambos infinitos tienen la misma cantidad de elementos!

Ahora imaginen que llegan al hotel una cantidad infinita de personas. ¿Podrán acomodarlos? ¡Pues claro que sí! Solo hay que pedirles a los huéspedes que dupliquen el número de su habitación, y se muevan a la habitación con ese número. Así, el de la habitación 1 va a la 2, el de la 2 a la 4, el 3 a la 6, etc… De esta forma todas las habitaciones impares quedan libres, y ya tenemos donde meter a los nuevos huéspedes. (Los numeran y les dicen que su habitación es la 2n-1)

Esto se traduce a que a un conjunto infinito le pueden agregar una cantidad infinita de elementos y seguirá siendo infinito. En lenguaje coloquial: Infinito + Infinito = Infinito. Como pudimos hacer la correspondencia uno a uno, ambos elementos tienen la misma cantidad de elementos.

¡Ahora más difícil! Imaginen que en lugar de un solo hotel infinito, ahora tienen ¡una infinidad de hoteles infinitos! Pero la luz está llegando infinitamente cara, así que la administración quiere meter a todos los huéspedes de todos los hoteles a un solo hotel. ¿Se puede lograr la hazaña?

Y como dicen por ahí, “todo cabe en un jarrito si se sabe acomodar”. Una forma, poner los hoteles en renglones. Ahora a cada huésped hay que asignarle una habitación, así que, se las asignamos como se ve en la imagen:

Aquí lo hacen con autobuses, pero es lo mismo…

En lenguaje cotidiano esta propiedad se traduce en que Infinito x Infinito = Infinito. Nuevamente, lo importante del acomodo es que logramos hacer una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos. Eso quiere decir que ambos tienen ¡la misma cantidad de elementos! ¡Se trata del mismo infinito! Hay otras formas conocidas de acomodarlos, como recorrer los hoteles en caminos cuadrados, pero el resultado es el mismo.

Ciertamente es muy impresionante cuando se examinan estas propiedades por primera vez. Uno no puede más que quedarse asombrado por el poder del infinito. ¡Pero que creen! ¡Existen otros infinitos, increíblemente más grandes que el infinito con el que hemos estado tratando!

De hecho, esos infinitos hacen que este infinito sea nada en comparación, y desde luego, pronto hablaremos de ellos.

Por cierto, quizá les haya quedado una duda

No, Hilbert no es el dueño del hotel… David Hilbert fue uno de los matemáticos más influyentes y creativos del siglo XIX. Seguramente su nombre sonará más veces en el blog. Además usaba sombreros chistosos.

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Fuentes

Raymond Smullyyan. Satán, Cantor y el infinito.

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Imágenes

[1] Wikipedia.de Unendlichkeit.

[2] [3] Taringa. El hotel infinito de Hilbert 

[4] Wikipedia. David Hilbert.

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