Círculos y pieles de buey.

Cuenta la leyenda que Dido, la fundadora y primera reina de Cártago, hoy Túnez, planteó el problema de encontrar una figura que, con un perímetro fijo, daba la máxima área posible.
¿Cuál es esa figura? ¿Para qué la quería? Algunos ya quizá estén pensando en la figura, pero, no sean impacientes y escuchen la leyenda.
El padre de Dido era un rey de la ciudad de Tiro, y cuando murió quedaron como herederos de su reino sus hijos Dido y Pygmalion. Sin embargo, el pueblo solamente reconocía a Pygmalion como su gobernante, por lo que Dido se casó con su tío, Acerbas, sacerdote de Hércules y segundo en poder después del rey Pygmalion. Pasó el tiempo; Pygmalion había oido que Acerbas tenía muchas riquezas. Lo mandó matar, sin encontrar nada. En consecuencia de esto, Dido toma unos sacos de arena y le hace creer a Pygmalion que son la riqueza de Acerbas y los arroja al mar. Dido convence a las personas que la ayudaron (gente que servía al rey Pygmalion) de que abandonaran Tiro, para evitar la ira de Pygmalion. Se incorporan al grupo el sacerdote de Júpiter y varias mujeres y parten.

Turner Dido Building Carthage

Dido construyendo Cártago.

Al llegar a la costa de África del Norte, Dido le pide a Jarbas, líder de una tribu de libios, hospitalidad y un poco de tierra para instalarse. Entonces, Jarbas les anuncia que les darría la tierra que pudieraabarcar con una piel de buey. Pero, Dido, bastante lista, hace cortar la piel de buey en una tira muy muy larga y delgada, lo que le permite circunscribir una colina entera, abarcando gran parte de la península de Cártago. La mitología siempre es padre, y si la buscan, podrán encontrar, entre otras cosas, como Dido se ofrece a los dioses en una demostración de amor, y es deificada ella misma.
Búsquenla y disfruten, pero ahora veamos la parte matemática del asunto.

En matemáticas hay un problema que se llama problema isoperimétrico que consiste en determinar una figura plana que dé la mayor área posible con un perímetro fijo. También se llama problema de… ¡No recuerdo el nombre! Problema de… Problema de… ¡Ah sí! ¡Problema de Dido! ¿Por qué será?

Diagrama mostrando las convexidades y concavidades de una posible figura que se formaría con un hilo.

El problema se puede expresar de la siguiente forma: Dentro de todas las curvas con algún perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región comprendida en ella? Inténtenlo pensar ustedes. Si tienen un hilo a la mano, tómenlo. Asegúrense de que sea una curva cerrada (si no lo es, hagan un nudo.) y jueguen con él. Déjenla caer sobre la mesa. Cuiden que el hilo no se cruze a sí mismo, es decir que no tenga lazadas. Casi les puedo apostar que tiene una forma rara, como una amiba. Tiene concavidades (donde parece que el hilo se mete a la figura, como una hendidura) y convexidades (donde parece que el hilo está completamente por afuera de la figura, como una península). Si toman una de las partes cóncavas y la sacan de la figura, tendrán una figura con el mismo perímetro, pero con una mayor área. Si hacen lo mismo con todas las concavidades, les quedará una elipse o un óvalo, que, con el mismo perímetro tiene mayor área que cualquier figura con concavidades. Pero una elipse podemos pensar que está elongada, es decir, hay más hilo hacia ciertas partes de la elipse. Si, sin generar concavidades jalas el hilo hacia las zonas donde le falte, poco a poco la elipse se irá transformando en… ¡el círculo! Intuitivamente, esto nos muestra que con un perímetro fijo, la figura que maximiza el área es el círculo, y en efecto esto se cumple. (Si quieren una demostración más rigurosa y formal, aquí hay una recopilación de demostraciones de este hecho ). El círculo es la figura que da la mayor cantidad de área con un perímetro limitado. Galileo algún día dijo que las matemáticas es el lenguaje con el que Dios escribió al universo, así que este hecho se debe ver en algún lugar del mundo.
¡Está en muchos lugares! Por ejemplo, una gota de agua adopta una forma que, de no ser por la viscosidad, sería completamente esférica; hay una cantidad fija de agua y las fuerzas de tensión superficial la hacen adoptar esta forma para que el esfuerzo sea mínimo (tiene que ver con el principio de mínima acción, del que ya les hablamos alguna vez). El área del tronco de un árbol tiende a ser circular pues es el que permite aprovechar más recursos con una cantidad fija de árbol. Muchas frutas tienden a tener forma esférica. Si se trata de una cantidad de materia fija con el máximo aprovechameitno de espacio, la naturaleza utiliza mucho el círculo para estos menesteres. ¿En dónde más pueden encontrar círculos que cumplan función de aprovechamiento de recursos?
Aguas, porque no es la única aplicación del círculo en la naturaleza. Tiene muchas más propiedades, tantas que es o fue considerado símbolo de la perfección. Y tampoco todo es circular. En la naturaleza hay otras formas como espirales, hexágonos, pentágonos, con otras funciones. De algunas de ellas ya se ha hablado. Tal vez en un futuro se hable de las otras en este blog. Pero por lo mientras: ¡Disfruten las cosas buenas que tiene la vida!

Índice de imágenes

[1] Turner Dido Building Carthage en Wikimedia Commons.

[2] Diagrama creado por el autor.

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