El Mágico Número i (Parte II)

¡Es hora de continuar con la magia! El número i todavía tiene mucho trucos bajo la manga para sorprendernos, y como les dije en la entrada pasada, apenas estamos entrando a las primeras capas de magia.

Así que agárrense que vamos a profundizar más. Claro que entre más profundicemos, mayor será  el nivel de abstracción para entender los conceptos, pero confíen en mí, de verdad vale la pena detenernos un rato a apreciar la belleza de este número. Haré lo posible por explicar de forma sencilla y que todos puedan entender.

Hoy vamos a empezar con una operación sencilla que aparecerá muchas veces en los complejos: El congujado.

Es muy fácil entender  que es el conjugado de un complejo, solo se trata de cambiar el signo de la parte imaginaria del número. Por ejemplo el conjugado de 4+2i, es 4-2i. El conjugado se denota poniendo una rayita arriba del número, es decir si su número es z su conjugado es \overline{z}

¿Sencillo no? Ahora, recordaran que podemos representar a los complejos de varias formas distintas, por ejemplo como un punto en el plano. Así que geométricamente, el conjugado es la reflexión a través del eje real (el eje x) (como siempre disculpen mis habilidades haciendo imágenes, ustedes saben que soy malo)

El conjugado se puede ver como la reflexión sobre el eje real

También podíamos representarlos en términos de su magnitud y su ángulo con respecto al eje real como z=re^{i{\theta}}. Entonces el conjugado es simplemente cambiar el signo al ángulo z=re^{-i{\theta}}

¡Genial! Ahora que ya  sabemos que es el conjugado de un complejo, vamos a ver algunos trucos mágicos que podemos hacer con él.

Producto punto y producto cruz

Existe una forma muy padre y sencilla de juntar el producto punto y producto cruz en los complejos. Quizá algunos de ustedes se estén preguntando ¿qué es eso de producto punto y cruz? Simplemente son 2 formas en las que se pueden multiplicar vectores (pueden pensar un vector como una “flechita”, que tiene magnitud y dirección)

El producto punto entre 2 vectores se interpreta como la proyección de uno sobre el otro. Pueden imaginarlo como “la sombra” que proyectaría  uno sobre el otro en un día soleado.

El producto punto es la proyección de un vector sobre el otro

Sí saben un poco de trigonometría podrán ver fácilmente que el producto punto es lo mismo que |a||b|cos(\theta) donde |a| y |b| simplemente son la magnitud de los vectores

El producto cruz, tiene más que ver con áreas. Si ustedes tienen 2 vectores, pueden construir un paralelogramo con ellos. El producto cruz les dirá que tanto vale el área de ese paralelogramo.

El producto cruz entre 2 vectores les da el valor del área del paralelogramo

Resulta que el área de este paralelogramo es |a||b|sen(\theta)  y en realidad es muy fácil comprobarlo, solo hay que calcular el área de la mitad del paralelogramo, es decir,  un triángulo y luego multiplicar por 2.

Y calcular el área de un triángulo es lo más fácil del mundo, base x altura /2, pero el truco será cambiar la altura |a|sen(\theta), (por eso en la figura les dibujo los 2 triángulos y el ángulo entre los vectores) sustituyendo el área del triángulo es  \frac{|a||b|sen(\theta)}{2}

Para el paralelogramo es eso mismo x 2.

¡Genial! Ahora vamos a juntar esto con lo que vimos del conjugado

¿Cuánto valdrá \overline{a}z?

Aaah pues muy fácil, ya sabemos que multiplicar es rotar y dilatar, así que multiplicar por \overline{a} simplemente será mover a z un angulo\theta y ampliarlo |a| veces

Para hacerlo más visual ¿qué pasará con el triángulo rectángulo formado por el vector z, y el vector a?

Multiplicar por el conjugado de a

¡Guau! ¡Vieron eso!

¿Cuánto vale la parte real de este producto? ¡Pues el producto punto!

¿Y cuánto vale la parte imaginaria? ¡El producto cruz!

No sé ustedes, pero cuando yo vi eso, me sorprendí mucho (bueno… tampoco tan difícil sorprenderme) Es una forma fácil y sencilla de juntar los 2 productos más famosos entre vectores.

En fin, disfrutemos esto unos segundos y sigamos que la magia no se hará sola…. Ya sabemos qué hace la multiplicación, la suma y el conjugado, así que naturalmente la magia continua con:

1/z

Probablemente estén pensando que sí ya vimos la multiplicación, seguramente la división es lo mismo pero al revés.

Bueno, sí, tienen toda la razón, pero vale la pena ver con nuestros propios ojos que pasa, porque la división incluye en ella un concepto muy poderoso: la inversión.

¿Qué es esto de la inversión? Es una operación que voltea al plano alrededor de un círculo. Todo lo que se encuentra dentro del círculo se sale, y todo lo que está a fuera, entra.

La inversión voltea el plano sobre un círculo

Aaah ¿verdad que suena loco?

Hay muchas cosas interesantes que salen de esto

Por ejemplo, a la hora de invertir, los puntos que estaban más alejados del origen, son ahora los más cercanos a él. Eso hace que figuras que se van al infinito (como las rectas) se conviertan en figuras que pasan por el origen. Es decir, técnicamente le estamos pegando un “punto al infinito”

Una recta se convierte en círculo, y un círculo en una recta

¡Oooh! ¿Entonces ahora todas las rectas se cortan no? En el infinito.

Algo igual, o más sorprendente es que ¡los ángulos se conservan! Es decir, si tenían 2 figuras que formaban un ángulo recto, y las invierten, seguirán teniendo un ángulo recto.

Les dejo como ejercicio a su imaginación, ¿qué pasará si invierten 2 rectas no paralelas? ¿Qué pasará si invierten círculos? ¿Sí invierten rectas que sean tangentes al círculo de inversión? Ya tienen muchas preguntas interesantes con las que entretenerse.

En fin, la división es exactamente lo mismo que la inversión, pero además las figuras quedan volteadas de cabeza, porque a diferencia de la multiplicación, en la división los ángulos se restan. Es decir, pueden pensar en la división como una inversión combinada con un conjugado.

Un Pikachu y su entrenador después de aplicarles 1/z (¡Es super efectivo!)

Evidentemente la figura no está en la escala correcta… si lo estuviera el Pikachu estaría más cachetón

Se los dije, vale la pena verlo… en la multiplicación no veíamos esas cosas.

Todavía les quiero hablar de la función exponencial, pero creo que ya fue suficiente por hoy (además de que mañana debo entregar un examen de cálculo y aun no lo acabó)

Tengan paciencia que ya viene lo bueno.

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P.D Está entrada participa en la Edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas que este mes se celebra en Hablando de Ciencia

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Fuentes:

Needham. Visual Complex Analysis

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