El Mágico Número i (Parte I)

¿Se acuerdan que el otro día hablamos del poderoso número e? Bueno pues vamos a seguir la línea de esa entrada, y vamos hablar de otra de las constantes más importantes para las matemáticas: El mágico número i. Sí, ese número tan extraño y misterioso, del que nunca nos hablaban cuando somos pequeños: la raiz de -1. En ésta y las siguientes entradas, vamos descubrir que  lejos de ser un número escondido en el misterio y la imaginación, es realmente una fuente de magia inagotable.

¿Y por qué  le digo mágico? Ya lo verán… vamos a ir desentrañando truco por truco toda magia  que nos da agregar un solo número al sistema de números que estamos acostumbrados. 

Bueno, vamos viendo. El número i viene de la idea de sacarle raíz  cuadrada a un número negativo, algo que como nos dice nuestro sentido común es “imposible” hacer. Es completamente normal que nos suene marciano sacar raíces negativas, pero… ¿alguna vez ha pasado esto en la historia de la humanidad?

¡Claro que sí! ¡A cada rato!  Por ejemplo con el 0, los número negativos, las fracciones o incluso el infinito. ¿Por qué? Pues porque parece “antinatural”. Nadie ve por ahí caminando “menos 2 vacas”, o “4/7 de pollo”. Hoy nos suena lógico pensar en estos números, pues los usamos a diario, pero en sus tiempos fueron verdaderas revoluciones de pensamiento.  De hecho, ya les había hablado el otro día del descubrimiento de la raíz de 2 y los números irracionales. Todo un sacudimiento para el mundo de los platónicos.

Bueno ya, ¡mucha introducción chafa!, a lo que venimos

Los números de los que les hablaré se llaman números complejos. Un número complejo es algo distinto a los números que conocen, pues están hechos de 2 partes: una real y una imaginaria. Un número complejo tiene la forma a+ib, donde a y b son números reales. Algunos ejemplos son: 3+i3 , \frac{4}{7}-i2, \frac{223}{7}-i\frac{28}{7}

Ahora, como casos particulares de los números complejos, sí b=0, tenemos los números reales que ya conocemos. Si a=0 tenemos números de la forma ib, que al elevarlos al cuadrado nos darán –b^2, es decir, son las famosas raíces de los negativos.

Genial, ahora empecemos con la magia

Primero truco: ¡todas las reglas del álgebra que teníamos con los números reales también funcionan para los complejos!  Suma, resta, multiplicación,  división, potencias y raíces de cualquier estilo (inclusive pueden sacar raíz  i-ésimas ¿se lo pueden imaginar?), todo sigue funcionando sin contradicciones ni problemas.

¿No les sorprende? Con solo agregar i, a parte de ganar todas las raíces negativas, hemos obtenido raices y potencias complejas totalmente gratis, sin entrar en conflictos o problemas nuevos. Pronto veremos más sobre que “significan” exactamente estas operaciones, pero bueno pasemos al siguiente truco de magia: El teorema fundamental del álgebra

¿Recuerdan en sus clases de mate de secundaria y preparatoria cuando los ponían a resolver  ecuaciones del estilo x^2+1=0, o x^2+x+1=0 con las que felizmente decían “no tiene solución” porque de alguna forma les salía una raíz negativa? ¡Pues no más!

El teorema fundamental del algebra, nos dice que cualquier polinomio siempre tendrá solución en los complejos. Más aún, que el número de soluciones es igual al grado del polinomio.

Es decir, si les pusieran a resolver una ecuación como está:

2012+{\pi }x^26+x^{123}

Podrán decir felizmente “bah… es obvio que tiene 123 soluciones en los complejos, gracias al teorema fundamental del algebra”

¿Ven él poder? Ya no se vale decir que no existe solución.

Esto apenas comienza, vamos con el siguiente truco: La interpretación geométrica de los complejos, es decir el plano complejo

Como les dije, los números complejos están formados por una pareja de números a y b. Esto quiere decir que así como podían localizar a cada número real en una recta (recuerden sus ejercicios con la ranita saltando) un número complejo lo podrán localizar en un plano: el plano complejo. Para esto se pone al número complejo a+ib como un par de coordenadas (a,b), y ahora simplemente buscan en donde cae. Es decir, localizar un número complejo es tan fácil como jugar submarino.

Lo bello de esta idea es  que podemos ahora podemos hacer geometría con estos números. Ok, ok, ya puedo escuchar sus protestas venir “Eso ya se podía con la geometría analítica”. Bueno déjenme detallar un poco más. La geometría con complejos es un poco distinta, lo que tiene de peculiar son las operaciones con complejos. Esto es porque vamos a pensar a las operaciones como algo que transforma a todo el plano. No se preocupen si les suena raro, les va a quedar claro con los ejemplos.

Empecemos con la suma. La transformación hará la suma, será la de mover todo el plano (ósea traslaciones). Esto quiere decir que si tenían una figura como un triángulo y aplican la operación “sumar un complejo”, terminaran trasladando a todo el triángulo en dirección de su número. (Disculpen que los dibujos esten feos… es la primera vez que uso geogebra =D)

Vamos a sumar el número complejo 1+i

Todo el plano se movió y obtuvimos el triángulo A’B’C’

La multiplicación se convierte en dilataciones combinado con rotaciones. Veamos que pasa si tenemos un triangulo, y multiplicamos por 2i. Supongamos que sus vértices son (1,2), (3,2) y (2,1) para que quede claro y fuera de dudas.

Un triangulo feliz y contento

Entonces al efectuar la multiplicación el punto (1,2) pasará a ser (-4,2), pues (1,2) era nuestra representación para  1+2i que al multiplicarlo por 2i nos dará  2i+4i^2=-4+2i Lo mismo para cada uno de los vértices.

Y ¡Zap! lo multiplicamos por 2i, por lo que duplicó su tamaño y rotó 90°

Siguiente truco: Apliquemos lo que ya sabemos de geometría. Por ejemplo, los puntos en el plano también se pueden localizar dando su distancia al origen y el ángulo de inclinación que tiene con respecto a la recta real. A está forma de localizar puntos en el plano se le llama “coordenadas polares

Es decir, que un número complejo también se puede escribir como otra pareja de números  (r,{\theta}) donde a r lo llamaremos el modulo, y teta el argumento.

¿Qué ventajas tiene hacer esto? Pues que ahora podemos aplicar un poco de trigonometría básica, y escribir nuestro número complejo como una suma de seno y coseno. (Una cosa que no les he dicho… así como la x la usamos para detonar números cualesquiera, se suele usar la z para denotar números complejos cualesquiera)

z=r(cos(\theta)+isen(\theta))

¡Ven que padre! Ya se está haciendo muy larga la entrada, así que vamos con el último truco de hoy.

Una consecuencia natural de que los números complejos se puedan escribir en términos de senos y cosenos es que inmediatamente se conectan con el poderoso número e. Las razones no se las diré, porque me llevaría más tiempo (necesito hablarles de series de Taylor y cálculo diferencial), pero esto quiere decir que

z=re^{i{\theta}}=r(cos(\theta)+isen(\theta))

¿Cómo más podrían describir esto si no como mágico? No sé ustedes pero a pesar de que conozco está expresión desde ya algunos años, me sigue sorprendiendo. Está expresión se conoce como la formula de Euler. ¡Simplemente hermoso! ¿Qué pasará si sustituyen r=1 y teta igual a pi?

La más hermosa de todas

¡Así es la identidad de Euler!

De hecho, ahora  conocen ésta expresión para los complejos se vuelve obvio porque la multipliacion funciona como funciona

z_1z_2=r_1e^{i{\theta_1}}r_2e^{i{\theta_2}}=r_1r_2e^{i({\theta_1+\theta_2})}

Es decir se multiplican los modulos (dilatación) y se suman los argumentos (rotación)

De hecho les dejo como tarea deducir la expresión para el seno y coseno del doble de angulo, y de paso el triple ángulo. Van a ver que es muy fácil de encontrar ahora que saben la formula de Euler.

En fin creo que es la entrada más larga que he hecho, pero ¡adivinen que! ¡Apenas estamos rozando las primeras capas de magia de los complejos! Estén listos, que otro día continuaremos con más.

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Actualización: Parte II

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P.D Con esta entrada participamos en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que este mes se celebra en Scientia potentia est

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Fuentes:

Penrose R. El camino a la realidad. Primera edición. 2007

Imágenes

[1] http://www.diariosdemagia.com.ar/

[2][3][4][5] Yo las hice

[6] http://gaussianos.com/la-identidad-de-euler/

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4 comentarios el “El Mágico Número i (Parte I)

  1. Pingback: Resumen del Carnaval de Matemáticas Edición 3.1 (actualizándose) | Scientia potentia est

  2. Pingback: ¡A votar! (Carnaval de Matemáticas 3.1) | Scientia potentia est

  3. la verdad por mas de que leo yo leo no entieno lo que es algebra ayudame a entender, porque bueno entiendo calculo, fisica , y bueno se supone que en todo eso entra algebra pero yo no logro entender. la materia de algebra habra un metodo sensillo de aprendisaje para algebra?????? o que me aconsejas

    • Hola, gracias por tu comentario

      Es normal que el algebra cueste algo de trabajo, especialmente cuando la empezamos a estudiar por primera vez, pues requiere un poco de abstracción.

      Lo que yo te recomiendo es que te detengas a reflexionar qué significan esas abstracciones, por qué funciona pensar a los números como variables, por qué son así las reglas de factorización, qué significa resolver un ecuación, etc, etc.

      Cuando entiendas las cosas desde lo más básico verás como deja de costarte trabajo.

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