Geometría proyectiva

Han oído ya mucho del espacio euclidiano, el que se trabaja desde chicos, pero, ¿ese es el de nuestra realidad? Pensemos en 2 líneas paralelas. Según Euclides nunca se tocarán, ¿no es así?, pero, piensen en vías del tren. Son paralelas, así es, sin embargo, si se ponen en el centro de las vías, verán que se tocan en el infinito. Hoy les hablaré de otro tipo de geometría, la geometría proyectiva.

Vías de un tren

He de confesar que les hablaré hoy de esto porque estoy tomando una clase de geometría proyectiva, y está realmente muy interesante y genial.

Desde el renacimiento se empezó a observar de manera diferente este mundo. Se encontró la perspectiva. Como es una geometría, está llena de definiciones, axiomas y teoremas, aunque no profundizaré mucho en eso. Para lograr pintar mejor, se inventaron un punto al infinito (punto de fuga), un punto donde las paralelas se cortan.

Lograr pintar y describir esta geometría no es tan sencillo, pues, como se podrán dar cuenta si se fijan muy bien en cuadritos del piso, o en un mismo cuarto, las distancias no se conservan, depende desde dónde se vea. Así que todos los teoremas que incluían distancia, a cambiarse.

La Habitación (Van Gogh)

Además, las formas son diferentes. Hagamos un experimento. En una hojita corten (o doblen) un triángulo y traten de poner cada uno de sus vértices en los puntos que les pongo a continuación.

Triángulos

Realmente no importa cuál triángulo usen, siempre podrán hacer que los vértices estén en los puntos (si no me creen, pruébenlo con otros triángulos).

Así que todos los triángulos son uno y además las distancias no se conservan. Las rectas paralelas no existen (se cortan en el infinito). Así que, ¿qué se conserva? Los puntos siguen siendo puntos y las rectas rectas, las cónicas (círculo, parábola, elipse, e hipérbola) siguen siendo cónicas (aunque no necesariamente las mismas). Para que lo vean, dibujen un círculo y muevan la hoja, se vuelve una elipse, ¿no? Pues las cónicas se conservan. También se conserva algo que se llama armónicos, aunque de ellos no hablaré mucho.

Eso fue una introducción a una nueva geometría, como han de estar pensando, sí, es fantástica y muy divertida, ahí les hablaré más en otras entradas.

Fuentes de imágenes:

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3 comentarios el “Geometría proyectiva

  1. Suena interesante, aunque se me hace un poco raro esa forma de ver las cosas. ¿Por qué se considera que las distancias y/o figuras se alteran? Es decir, según yo, dentro de un espacio de 3 dimensiones, el triángulo va a tener los mismos ángulos y los lados van a medir lo mismo, otra cosa es que en un plano bidimensional lo veamos diferente; del mismo modo es que el círculo dibujado va a seguir siendo un círculo, aunque desde donde lo vemos parezca una elipse.

    • Pero es que depende de como veas al plano. ¿Hiciste lo del triángulo?, verás que todos son uno! 🙂 La verdad de la geometría proyectiva es que ya no trabajas con el plano cartesiano, sino con el plano proyectivo (que está en cuatro dimensiones así que no te lo puedo describir). Para poder imaginar otra geometría, piensa en la geometría esférica, donde a cada punto del plano se le asocia uno en la esfera. Las líneas se vuelven meridianos o paralelas (es decir, geodésicas). Esa la podrías visualizar (de hecho, es una nueva idea para la siguiente entrada). Aunque la proyectiva ya no pues es una cosa rara en 4 dimensiones.

      • ¿Es en serio lo del plano proyectivo está en cuarta dimensión?… mi maestro de cálculo me diría… “es un monstrito”…

        SALUDOS

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