El poderoso número e

En el mundo de las matemáticas, hay varias constantes que tienen una gran importancia. Por ejemplo, π, el 1, el 0, la unidad imaginaria i, la razón áurea, etc. El día de hoy vamos a dedicar esta entrada a una de estas constantes, quizá no tan conocida como π, pero al menos igual de importante: el número e.

A diferencia de Pi, no conocemos a e desde tiempos tan antiguos. La primera aparición de e  tiene lugar en 1618 con la invención de los logaritmos. Así como la resta es la operación inversa de la suma, y la división es la operación inversa de la multiplicación, un logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. Ahorita no entraré en detalles de logaritmos, solo sepan que con su invención, se lograron simplificar cálculos muy difíciles de la época, pues usando logaritmos podemos convertir a la multiplicación en suma y a la división en resta.

Tuvieron que pasar poco más de 100 años para que el verdadero poder de e empezara a brillar. Fue el gran matemático suizo Leonhard Euler, el primero en estudiar con profundidad a e. Por eso también se le conoce como “el número de Euler” De hecho, fue él quien empezó a representarlo con la letra e en algunas de sus cartas.

Pero bueno, basta de historia, vamos a lo importante ¿Qué hace? ¿Por qué es tan poderoso este número?

En primer lugar, vamos a encontrar al número e en casi todos los problemas que tengan que ver con el crecimiento de algo. Por ejemplo, imaginemos que tenemos un árbol y nos preguntamos ¿A qué velocidad crece? Intuitivamente podemos decir que depende del tamaño que tenga el árbol. Un árbol pequeño, crecerá más lento que un árbol grande. ¡Pura lógica!

Un árbol pequeño y uno grande

Hay muchos ejemplos de cosas que crecen en proporción al tamaño que ya tienen: ¿Qué tan rápido crece una población?, ¿qué tan rápido crece nuestra deuda con el banco?, ¿qué tan rápido decrece la temperatura del agua hirviendo?, ¿qué tan rápido se da el decaimiento radioactivo?, etc, etc. En todos esos problemas, les aseguro que e está involucrado.

¿Y por qué? ¿Cómo le hizo e para meterse en esos problemas? La razón está en el cálculo diferencial. A grandes rasgos, el cálculo diferencial se encarga de estudiar cómo se comportan las funciones. Y una forma de estudiar a las funciones es por medio de la derivada. La derivada de una función es algo que nos dice que tan rápido está creciendo o decreciendo la función.

Veamos esto con nuestro ejemplo del árbol. Podemos hacer una función que nos diga el tamaño que va a tener el árbol en distintos tiempos (En un año va a medir tantos metros, en 2 años otros tantos metros, etc.) Luego, si quisiéramos saber que tan rápido crece el árbol, lo que haríamos sería derivar nuestra función.

¡Y aquí es donde hace su aparición e! pues e es el único número que al derivar su función exponencial da la misma función. En otras palabras, esto quiere decir e aparecerá cada vez que algo crezca con una velocidad que es proporcional a su propio tamaño, como nuestro árbol.

Esta propiedad es tan importante, que convierte al número e, en el número por excelencia del cálculo.

Pero e  no se queda solo con cosas de crecimiento y cálculo. También está muy relacionado con los números complejos, con la probabilidad y estadística, con las ecuaciones diferenciales, con la geometría hiperbólica, y prácticamente todas las demás ramas de las matemáticas. Pero si les explicara cada una de sus apariciones tendríamos una entrada muy larga, así que tendrán que esperar para otra ocasión.

Por cierto… ha sido todo une entrada dedicada al número e y ni siquiera hemos dicho cuánto vale.

¡Vaya descuido! Bueno aquí lo tienen:

e=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}

o bién

e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots

Si ustedes se ponen a hacer las cuentas obtendrán que e=2.7182818284…

Finalmente, para su deleite y para que quede completa la entrada , les dejaré unas cuantas de las apariciones más impresionantes de e

¿Se imaginan cuánto vale i elevado a la i? (Recuerden que  i es la unidad imaginaria, i=\sqrt[2]{-1 } ) ¿Siquiera se puede hacer eso? ¿Será un número real o un número complejo?

Pues Euler demostró que:

i^i=e^{-(\frac{\pi }{2}+2k\pi)}

Donde k es un número entero cualquiera, así que sí, efectivamente es un número real

La espiral logarítmica, también llamada espiral equiangular  r=e^{a \theta} (para los que sepan que son las coordenadas polares), recuerda mucho la forma de los nautilus y galaxias de disco

Nicolaus Bernoulli propuso el problema de la secretaria: “si n cartas van a ir en n sobres que ya tienen escritas las direcciones ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cartas sean colocadas en un sobre equivocado?”

Pues resulta que cuando tenemos que n es muy grande la probabilidad se aproxima a \frac{1 }{e}

Hablando de probabilidades, esta es una integral muy importante para la teoría de probabilidad (10 puntos a quien me diga en que se usa)

\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt[2]{\frac{\pi }{2}}

Y por supuesto la más bella de todas. La identidad de Euler

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4 comentarios el “El poderoso número e

    • ¡Si! Bueno ya no estoy seguro, me metiste la duda
      A decir verdad no se que fue primero, si la integral o la distribución normal (la campana de gauss)
      Si primero fue la distribución, entonces si tienes razón
      Si primero fue la integral, entonces se uso ese resultado para hacer la distribución

      Igual tienes tus 10 puntos =D

    • Como curiosidad, en realidad no se le debería llamar campana de Gauss
      La distribución normal fue presentada por primera vez por de Moivre
      Lo que Gauss hizo fue utilizarla para analizar datos astronomicos

  1. jo durante vacaciones y aislado del mundo no tenia nada q hacer e hice lo de i^i y pasando a ver si estaba bien, descubro q si!!!! 😛

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