Sólidos muy regulares

Desde épocas muy antiguas se ha buscado que las cosas sean regulares. Y por ello, las formas regulares regularmente han llamado mucho la atención. De entre las formas regulares que existen, en particular existen 5 sólidos regulares que se llaman sólidos platónicos.

Estos sólidos regulares tienen la propiedad de que sus caras son polígonos regulares. Los polígonos regulares son las figuras cerradas en donde cada lado mide lo mismo. Como el triángulo regular, cuadrado regular, pentágono regular, hexágono regular, etc. (Creo que me dio regularitis regularitis.)
Ahora bien, los únicos sólidos que pueden tener caras como polígonos regulares son cinco: tetraedro, hexaedro (o cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Estos son los cinco sólidos platónicos:
El tetraedro, octaedro e icosaedro están formados por 4, 8 y 20 triángulos iguales.
El cubo está formado por 6 cuadrados.
Y el dodecaedro está formado por 12 pentágonos.

Veelvlakken op gelijke schaal

Los cinco sólidos platónicos, cada uno como una esfera alrededor de ellos.

Son tan regulares que, ya desde los griegos han sido usados para explicar el comportamiento de la naturaleza. Los griegos asociaban el fuego con el tetraedro, por se puntiagudo como las flamas; el aire con el octaedro por ser muy suave; el agua con el icosaedro porque al tomarlo se resbala de entre las manos; y el cubo con la tierra debido a su solidez. El dodecaedro quedaba para asociarse con el arreglo divino de las constelaciones en el universo. Incluso, como ya les mencionó Ari, Kepler los usó para explicar la forma del universo. Empezando desde Saturno, que era el planeta conocido más lejano, lo colocó sobre una esfera alrededor del Sol. Dentro de la esfera puso un Cubo, dentro del cubo puso una esfera,y así sucesivamente. Entonces, decía que los planetas se movían en las esferas que estaban dentro de los sólidos platónicos, con la secuencia: Mercurio, octaedro, Venus, dodecaedro, Tierra, icosaedro, Marte, tetraedro, Júpiter, cubo, Saturno.

 

Schlegel wireframe 120-cell

Teselación de la esfera con dodecaedros, sonde se pueden generar esferas más grandes o más chicas. Se puede hacer lo mismo con cada uno de los sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos van de dos en dos, pues si se pone un sólido dentro de su pareja, cada esquina del interior apunta a una sola cara del sólido exterior. Las parejitas son tetraedro dentro de otro tetraedro, cubo dentro del octaedro y dodecaedro dentro del icosaedro.

Ahora, los sólidos platónicos pueden teselar (si se preguntan qué es eso, lean el post de Alex). Los únicos sólidos platónicos que pueden teselar el espacio en el que vivimos son los cubos, es decir, podemos llenar nuestro mundo de cubitos del mismo tamaño sin dejar huecos. Sin embargo, si en el centro de cada cara del sólido platónico inscribimos una cara del mismo sólido, pero en versión más pequeña (p. Ej, en el centro de pentágono de un Dodecaedro, ponemos el pentágono de un dodecadreito), y repetimos el proceso, podemos llegar a una esfera. Esto me recuerda un poco a la formación de algunos fractales de los que ya les hablamos anteriormente Garma (aquí) y yo (aquí).

Por su regularidad, los sólidos platónicos se pueden construir como dados, en donde cada cara tiene la misma probabilidad de caer:

Dados formados con sólidos platónicos.

Dados formados con sólidos platónicos.Incluso, para los que les gusta el fut, el balón de fut se puede formar a partir de sólidos platónicos. ¿Cómo? Pues si tomamos un icosaedro y le cortamos la esquina a cada triángulo (matemáticamente hablando, decimos que lo truncamos), tenemos una pelota de fut.

Pelota de soccer formada con un icosaedro truncado.

Pelota de soccer, realizada con un icosaedro truncado.

Espero les haya gustado. Buenas.

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