Repito: se repite

Ya Garma (heroelago) en la última parte de su serie de ‘Teoría del caos‘ nos habló un poco de los fractales, y esta vez nos sumergiremos un poco más profundo dentro de estos objetos matemáticos.

Podemos decir que un fractal es una figura que se repite a sí misma. Es decir, que si la dividimos, en partes, cada una de las partes será una copia (a menos aproximadamente) de la imagen completa. La próxima vez que vayan al súper y compren brócoli, fíjense que si lo dividen, cada parte en la que dividan se verá casi igual al todo (un palito con una bolita verdes).

Brocolli

El brócoli como ejemplo de Fractal

La propiedad de que se parezcan a sí mismos se llama autosimilitud, y puede ser de tres tipos:

  • Autosimilitud exacta: Los fractales que son idénticos a diferentes escalas.
  • Cuasiautosimilitud: La figura fractal es aproximadamente igual a distintas escalas
  • Autosimilitud estadística: Sólo un cierto número devalores estadísticos se preservan cuando se cambian escalas.

Entre otras cosas, en ese post, Garma nos dice que los fractales están presentes en la naturaleza. Sin embargo, los seres humanos, como siempre tendemos a poder simular algo que pasa en la naturaleza. Es por ello, que para generarlos y poder estudiarlos mejor, hemos utilizado varios algoritmos:

El fractal que nos presentó Garma (el conjunto Mandelbrot) se trata de un fractal de órbitas. En ellos se utiliza, sobre algún espacio geométrico (como el plano complejo), una fórmula que se va repitiendo y repitiendo sobre cada punto en el plano, y da ciertas figuras.

Un fractal de órbita. El fractal del barco en llamas.

Si toman un cuadrado, lo dividen en 9 partes, quitan la parte de enmedio y repiten con los cuadrados que les quedan, podrán seguir haciendo lo mismo hasta donde quieran (o donde se cansen). Entonces, habrán generado un fractal llamado la Alfombra de Sierpinski. Este tipo de fractales se genera cuando se van reemplazando ciertas partes de la figura inicial con alguna regla fija (los matemáticos le llaman fractal por sistema de funciones iteradas).

Esponja de Menger, la versión en tercera dimensión de la Alfombra de Sierpinsky. Se muestra su construcción hasta la tercera iteración.

Pero nos dijeron que los fractales son caóticos, es decir que no se pueden predecir con exactitud. Pero ahora estamos viendo reglas para generarlos. Pero como dijo Garma, lo que estamos haciendo es generando su comportamiento global, pues mientras más nos acerquemos veremos que hay detalles que no se ven desde un lugar con menos zoom. Además, aunque hayan surgido del estudio del azar,la característica fundamental de los fractales es que se repitan a sí mismos. Sin embargo, también hay fractales generados más con el azar que con fórmulas, llamados fractales aleatorios. De hecho, esta es una forma de generar un paisaje fractal, un paisaje generado por computadora que se asemeje a la naturaleza, aprovechando que los paisajes naturales presentan naturaleza fractal.

Paisaje fractal. Ejemplo de un fractal aleatorio.

Otra forma de generarlos es con sistemas-L (en honor su desarrollador Aristid Lindenmayer). En estos sistemas se inicia con una cadena de símbolos. Después de cada iteración a esta cadena se le aplican ciertas sustituciones, lo que nos da otra cadena. Y así sucesivamente. Después de ciertas iteraciones a cada símbolo se le asigna que haga algo, la computadora lo interpreta y voilà. Obtenemos un fractal.

Árbol fractal generado con un sistema L.

Los dos métodos anteriores incluso pueden generar música fractal. ¿Cómo es eso? Pues dependiendo de la figura que se forme con el azar o de la cadena de símbolos que se genere con el sistema L, se le puede asignar una acción, y con ello generar música autosimilar. ¡Es decir, música fractal! Por ejemplo, chequen esto:

Pueden encontrar más ejemplos de música fractal y de cómo se genera en http://www.tursiops.cc/fm/

Además, por la forma que presentan, los fractalestambién encuentran su lugar en las artes plásticas:

Fractal Art

Arte con fractales.

Pero los fractales no sólo son usados para crear música o simular paisajes naturales. Existe toda una rama de las matemáticas llamada el análisis fractal, que consiste en modelar un conjunto de datos obtenidos por medio de fractales. Entre sus aplicaciones están compresión y agrandamiento de imágenes, clasificación de muestras histopatológicas en medicina, sismología, camuflaje, diseño de computadoras, enzimología y otras aplicaciones.

Como ven, los fractales son muy padres, tanto desde las más profundas matemáticas, hasta lo padre que se ven en la vida real. Cuando los conocí, me llamó mucho la atención cómo se veían. Tienen muchas propiedades y características muy interesantes, pero son tantas que no se podrían cubrir sino en demasiados posts. Por esta ocasión, los dejo, queridos todos. Espero lo hayan disfrutado.

Si desean ver más fractales, añado algunas direcciones a las que ya había puesto Garma:

http://www.011art.com

http://www.aartika.co.uk/

Y si quieren un programa para generar sus propios fractales, les recomiendo Xaos o Apophysis.

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2 comentarios el “Repito: se repite

  1. Wow!!

    jaja no esperaba que fueras a hablar de fractales tan pronto XD
    te quedo excelente!! explicaste todo mucho mejor de lo que yo hubiera podido XD
    Definitivamente se va a favoritos

  2. Pingback: Sólidos muy regulares « Imperio de la Ciencia

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