El principio de la mínima acción

El día de hoy nuestra entada invitada está escrita por Manuel Alejandro Buen Abad Najar, hermano de Hthaliion, uno de nuestros escritores. Manuel estudia 5° semestre de física en la facultad de Ciencias de la Universidad de Colima. Por naturaleza, es extremadamente flojo. Le interesa la física matemática y se define a sí mismo como un físico teórico.

Escrito por Manuel Alejandro Buen Abad Najar.

Admitámoslo: todos nosotros hemos sentido una pereza tremenda alguna vez. Vamos… ¿o me van a decir que soy el único holgazán incorregible?. Cuando las espantosas frases de “Hijo, ve a las tortillas”,  o “Fulanito, tienes que hacer ésto y aquello” zumban en nuestros oídos como mosquitos molestos, no nos damos por enterados y usamos todo nuestro ingenio para evitar cumplir con esas tareas. Les apuesto a que jamás nadie, cuando va por la calle, le da vueltas una y otra vez a la misma cuadra en lugar de ir por el camino más corto a su destino. No, no, no, ¡qué flojera!

Y si lo piensan con más cuidado, muchas cosas de nuestra vida las hacemos ni más ni menos que para “evitar la fatiga”. Para ahorrarnos el fastidioso trabajo de ser nosotros mismos mecánicos, ingenieros, programadores, albañiles, agricultores, sastres, zapateros y carniceros a la vez, nada más nos dedicamos a una o dos cosas y dejamos que el dinero pague por el trabajo de los que hacen otros trabajos que producen lo que necesitamos. Llámenlo como quieran, pero simple y llanamente es FLOJERA.

Bueno, está bien para nosotros los humanos ser holgazanes (como creo que acabo de demostrar, está en nuestra forma de ser), puesto que, paradójicamente, es muy productivo serlo. Pero resulta que la naturaleza también es floja, flojísima. Así es: la Naturaleza se guía por aquello que sea más efectivo para realizar la mayoría de sus procesos físicos, sino todos. A ésto se le llama el “Principio de la Mínima Acción”, y me encargaré de explicarlo.

Si es que no nos dió “flojerita” atender a nuestros cursillos de física, recordaremos que todos los cuerpos que se mueven tienen una cierta energía (o “capacidad para realizar un trabajo”) a la que llamamos “energía cinética” y que acostumbramos a abreviar como T (ni idea de porqué T). Si no me creen, pídanle a alguien que les arroje un diccionario a la cara, entre más gordo mejor. El proyectil adquirirá una T. Para comprobarlo, sólo vete al espejo y admira el bello moretón que te dejaron. El diccionario hizo el trabajo de golpearte la cara.

También un objeto puede tener otra forma de energía, llamada “energía potencial” y que se abrevia como V (sepa la bola por qué V). Esta energía depende de la posición del objeto en un sistema, y no siempre existe, por lo que no es tan sencilla de “ver”. Toma el diccionario que te aventaron y sostenlo con tu mano lejos del suelo sin moverlo. Ahora el diccionario no tiene T, pero tiene V, es decir, una especie de “energía almacenada” que posee por el simple hecho de tener una posición algunos centímetros por arriba del suelo. Para comprobarlo, deja al diccionario caer: verás como pierde altura (que se traduce como una pérdida de V) pero gana movimiento (es decir, gana T).

Pues muy bien, a la resta de T-V (energía cinética menos energía potencial de un objeto) le llamamos “lagrangiano”, abreviado L (en honor del genial matemático y físico del siglo XVIII que trabajó con esta resta, Joseph-Louis Lagrange). Y resulta que L es vital para poder comprender al “Principio de la Mínima Acción”, y para casi TODA la física moderna.

Primero interpretemos qué significa el lagrangiano. Si T es la energía de movimiento de un objeto y V es su energía potencial (o almacenada), podemos interpretar a L=T-V como qué tanto “esfuerzo” está haciendo el objeto. Si L es muy grande quiere decir que T le gana a V, es decir, que hay más energía de movimiento que energía acumulada, y que por lo tanto, hay un gran esfuerzo. Si L es pequeño (negativo), entonces V le gana a T y esto quiere decir que el objeto tiene más energía acumulada que energía de movimento: el objeto está haciendo poco esfuerzo.

Ahora metemos otra cantidad: la “acción”, que para el colmo se abrevia como S. Y ésta no es otra cosa que “qué tanto lagrangiano (esfuerzo) tiene el objeto por cuánto tiempo” (para los listillos, es la integral de L respecto al tiempo). Y (redobles de tambores por favor), aquí es donde entra nuestro

“Principio de la Mínima Acción:

 

La trayectoria física seguida por un objeto, que conecta a dos puntos es aquella en la cuál la acción S es mínima”

 

(principio establecido por primera vez, de forma un poco diferente, por el francés Pierre Louis Maupertuis).

¿Quieren comprobarlo, o les da flojera? Tomen su pobre diccionario y aviéntenlo hacia arriba. Seguramente podrán darse cuenta de dos cosillas:

–       El diccionario gasta mucho tiempo (se mueve lento) en la cima de su trayectoria, que es donde L=T-V es pequeño por tener mucha V y poca T, es decir, donde el libro hace poco esfuerzo.

–       El diccionario dura poco tiempo (se mueve rápido) al principio y al final de su trayectoria, que es donde  L=T-V es grande por tener mucha T y poca V, es decir, donde hace mucho esfuerzo.

No hay que ser un genio para saber que la trayectoria que siguió el diccionario es aquella en que la acción es la más pequeña posible, es decir, aquella en la que el objeto realiza menos esfuerzo durante más tiempo y más esfuerzo durante menos tiempo. ¡La acción se minimiza en las trayectorias de movimientos que suceden en la vida real! ¡La naturaleza es perezosa!

Esta manera de ver la física (que se llama “formalismo lagrangiano”) es hermosa y sexy para los ojos que saben verla. En efecto, nada más con el principio de la mínima acción y el lagrangiano, uno puede encontrar las tres leyes de Newton que oímos en la secundaria, ¡las tres!.

Pero no falta el aguafiestas que dirá: “Todo está muy bien, pero ésto es en la mecánica clásica, con las cosas que nos dijo Newton hace 400 años. Sabemos que aparte de diccionarios volando hay átomos, hay electricidad y magnetismo, hay teorías de la relatividad, hay bombas atómicas y cosas feas y raras como la mecánica cuántica, ¡apuesto a que éste principio falla en alguno de estos fenómenos!” Y yo le digo al aguafiestas “¡NO!”.

Hay un lagrangiano para la fuerza electromagnética, y otro para la teoría de la relatividad general (que nos explica la fuerza gravitacional). También hay lagrangianos para la interacción fuerte (que mantiene unidos a los núcleos de los átomos) y para la interacción débil (que se encarga de la radiación). ¡Incluso hay lagrangianos para fuerzas que no existen en la vida real! Y aunque estos lagrangianos pueden ser MUY complicados (adiós al sencillo y bonito T-V), a partir de éllos y de nuestro querido “Principio de la Mínima Acción” podemos obtener las ecuaciones que dominan a esas fuerzas.

En todas los sistemas físicos que conozco hay detrás, a fin de cuentas, lagrangianos y acciones que minimizar. Incluso para poder demostrar que la distancia más corta entre dos puntos es una recta o para explicar por qué los cables de teléfono tienen esa forma cuando cuelgan debemos minimizar algo parecido a una acción. ¡Hay lagrangianos hasta en las camisas y tazas de café!

Anuncios
de imperioinvita Publicado en Física

6 comentarios el “El principio de la mínima acción

  1. Siempre me ha parecido que las cosas más bellas en ciencias y matemáticas son las que se pueden entender con relativa con sencillez y al mismo tiempo tienen tantas implicaciones fuera de nuestra imaginación

    Si nos ponemos a pensar, es gracias a este principio que el universo sigue las leyes de la lógica, y gracias a eso podemos entender el universo.

    Excelente entrada y explicación n_n

  2. ¡Gracias! Se supone que tenía imágenes (incluyendo unas de una playera y una taza del CERN en que venía el lagrangiano del modelo estándar, para poder ilustrar la última frase de la entrada), pero mi hermano me dijo que nomás no se pudieron adjuntar, quién sabe porqué. Como sea, me pareció un tema muy interesante n___n

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s