¿Puede un Diablo atrapar un Ángel en un tablero infinito de ajedrez?

Soy Leonardo Ignacio Martínez Sandoval, un egresado de la Licenciatura en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Me gusta mucho hacer matemáticas y compartirlas.

Creo que México es un país que puede estar en el Top 20 de matemáticas. Ya hemos entrado al top 20 en otros aspectos, y me parece que las matemáticas no deberían ser una excepción.

Me encanta tener muchos proyectos, aunque algunos de ellos queden a medias. Me gusta vivir la vida a lo ancho, en vez de a lo largo.

En la historia de las matemáticas siempre han surgido problemas difíciles y divertidos. Es tan sólo cuestión de que a alguien se le ocurra una pregunta para que esta pueda tener muchas ramificaciones y los matemáticos se pongan las pilas para trabajar en un problema. Aunque muchas veces estos problemas son algo técnicos, otras veces son muy accesibles, y tienen que ver con cosas que conocemos frecuentemente, como grupos de amigos, coloraciones de mapas e incluso tableros de ajedrez.

 En esta entrada les platicaré acerca de uno de los problemas que más me llaman la atención en las matemáticas, pues es una bella historia de cómo los matemáticos resuelven los problemas.

El problema

Apelaré un poco a la imaginación de los lectores y les pediré que imaginen un tablero de ajedrez muy muy grande. Es un tablero que se extiende infinitamente hacia todas las direcciones. En nuestro problema tendremos dos personajes: un Ángel y un Diablo.

El Ángel es como una pieza de ajedrez. El Ángel tiene poder 1000, lo que quiere decir que se puede mover a cualquier casilla del cuadrado de 2001×2001 que lo rodea (o, en otras palabras, puede hacer instantaneamente hasta 1000 movidas de Rey). El Diablo no es una pieza, sino más bien un ser “omnipresente” (ya ven que dicen que el mal está por todas partes). Su tarea consiste en atrapar al Ángel, y para esto puede eliminar una casilla del tablero, la que quiera. El Diablo logra ganar si atrapa al Ángel de modo que ya no pueda hacer movidas. El Ángel gana si puede escapar indefinidamente.

Este problema es planteado por Conway en 1996. De hecho, Conway se pregunta si existirá un poder suficientemente grande para que el Ángel pueda escapar, o si con cualquier poder el Diablo lo atrapa. ¿Cuál es el menor poder que necesita? Conway ofreció 100 dólares a quien mostrara que el Ángel de algún poder se escapaba y 1000 dólares a quien mostrara que el Diablo atrapa al Ángel de cualquier poder.

Parece una pregunta inocente, pero no lo es. Los matemáticos tardaron mucho tiempo en poder encontrar una respuesta.

Los problemas intermedios

Antes de que Conway planteara el problema, ya habían visto que pasa con un Ángel de poder 1, es decir, un rey de ajedrez. Lo que sucede es que el Diablo siempre atrapa a los reyes. Sin importar cómo intente escapar el rey, el Diablo lo puede atrapar. Debe ser por eso de que el poder corrompe, jeje.

Después, los matemáticos siguieron trabajando con el problema de Conway, pero resultó tan tan difícil, que prefirieron cambiarlo un poquito para ver si se les ocurrían más ideas. Esto nos pasa mucho a los matemáticos, nos vamos por la tangente para ver si se nos ocurren nuevas ideas.

Resultó que el problema del Ángel resultó mucho más fácil en 3D. Ahí Martin Kutz en su tesis doctoral pudo demostrar fácilmente que un Ángel con mucho poder se escapa. De modo paralelo, Bella Bollobás e Imre Leader lograron dar una demostración similar y la publicaron en el Journal of Combinatorial Theory.

Por otro lado, también los matemáticos intentaron ideas locas, como definir los Ángeles de poder 1/3, o 7/5, o vaya, poderes con cualquier número, como pi. Hubo un resultado muy interesante por parte de Kutz, en el cual se prueba que cualquier Ángel de poder menor a 2 puede ser atrapado. ¡Pero su prueba ya no funcionaba para atrapar a un Ángel de poder igual a 2! Esto, por supuesto, generó sospechas de que tal vez ese era el punto clave para escapar.

Las soluciones

Pasó el tiempo y el problema de Conway se publicó en un libro. El problema (y la oferta económica de Conway) tuvieron tal difusión que así, de repente, en un año hubo 4 soluciones para el problema de Conway. La respuesta de todas es que sí, hay un poder suficientemente bueno como para que se escape el Ángel. Estas soluciones fueron hechas por Bowditch, Gacs, Kloster y Mathé. Más aún, la prueba de Kloster funciona para un poder muy bajo ¡funciona para poder 2!

Con estas pruebas se respondió la pregunta original, pero posteriormente surgieron muchas otras preguntas ¿qué pasa con un caballo de ajedrez? ¿qué es lo mejor que puede pasar en 3D? ¿cuál es una forma de hacer problemas mucho más generales y cuando se puede escapar el Ángel ahí? ¿qué pasa con el juego en otras geometrías? Algunas de estas preguntas ya se han respondido, pero otras no. Aún por ahí hay algunos matemáticos que se dedican a colaborar su granito de arena para seguir sabiendo más cosas de este problema.

Hay un juego flash basado en este mismo problema, llamado Chat Noir. En el juego un gato negro juega el papel del ángel y ustedes el del diablo. La única diferencia es que juegan en un tablero finito, y algunas casillas del juego ya han sido eliminadas. Es muy adictivo.

http://www.gamedesign.jp/flash/chatnoir/chatnoir.html

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