Juguemos gato en un toro.

Hoy les hablaré de algo muy interesante, un juego de gato en un toro. Posiblemente confunda a muchos, pero no es algo complicado. Y es que con toro no me refiero al animalito, sino a una superficie (que es como una dona). Pero, ¿cómo jugar gato ahí? Pues miren, en una esfera, si se toman un punto y van hacia, por ejemplo, arriba, en línea recta y luego parten de ese mismo punto pero ahora de un lado, y trazan ambos caminos, se intersectarán 2 veces. Si hacemos lo mismo en un toro, es decir, nos vamos por el centro de la dona y luego por fuera, sólo habrá una intersección.

Toros

Hay muchas propiedades interesantes de estas superficies, y las estudia la topología. Algunas cosas de topología:

Si tenemos 2 superficies, serán topológicamente equivalentes si ante ciertas transformaciones conservan algunas propiedades (si lo quieren formal, ante transformaciones rígidas se conserva el ángulo, volumen, etc.). Si lo vemos desde el punto de vista topológico, son equivalentes si podemos volver una superficie en otra sin romperla (se vale estirar y alterar). Es por eso que hay un chiste que me gusta mucho y dice que un topólogo es quien no sabe diferenciar entre una dona y la taza del café. Y es que una dona (toro) y una taza de café (siempre y cuando tenga aspas) son topológicamente equivalentes:

Taza y café

Versión gif:

Transfromación de una taza de café en una dona

Ahora a lo que voy, la relación con el juego de gato. Yo me refiero al juego de gato que todos conocemos y jugamos. Usualmente el juego es en un espacio plano, pero es posible jugarlo en otras geometrías. La de un toro es especialmente padre. Para los jugadores de videojuegos (en específico Final Fantasy) en algunos mapas, no sé si han notado (repito, algunos) que cuando uno se va al extremo del mapa (digamos, derecho) sale por el otro extremo (el izquierdo) pero en la misma dirección en la que iban. Eso es un toro, por lo que se llega a la conclusión de que los mundos de Final Fantasy son toros. En la esfera pasan otras cosas. Piensen en el mapamundi.  Si uno se va por Alaska, saldrá por Rusia, mientras que si uno se va por Argentina hacia abajo, no sale por Groenlandia (como lo haría si la Tierra fuera un toro) sino que sale por Australia. He aquí un mapamundi para que les ayude:

Mapamundi

Ahora, si se juega gato en un toro, hay más posibilidades de ganar (ja, eso creerían).  Están las normales y hay más:  Paraempezar, cualquier posición es como el centro, así que da lo mismo de donde se empiece. Luego si se hacen configuraciones como:

Maneras de ganar en gato en toro

Se gana pues si se empieza desde el círculo de abajo y se hace una línea, va a dar a los círculos de arriba, uniendo 3 círculos.

Si se voltea esta configuración y se refleja dan las otras configuraciones con las que se gana, pero en escencia es eso.

Aunque la verdad jugar este juego es trampita (y mientras los demás no sepan, trampita divertida) pues en este juego, mientras uno no se deje ganar, el que empieza gana. La demostración completa no la pondré, pero lo que se debe hacer para demostrarlo es ver todos los casos, no son tantos, pero si, el que empieza gana siempre y cuando no se deje ganar. Así que puede ser muy divertido jugar gato en toro siempre y cuando uno empieze.

Rotando para no caerse

Si algún día están cambiando la llanta de su bici, agárrenla del centro en manteniéndola en posición vertical con los dos brazos extendidos. Si la intentan rotar de tal forma que quede horizontal, la podrán hacer sin mucha dificultad.
Pero si le piden a alguien que la ponga a girar y la intentan rotar, les costará más trabajo. En este momento la rueda de bicicleta se comporta como un giroscopio.
En un cuerpo que se está moviendo es más difícil hacer que cambie el movimiento de un cuerpo, ya sea en su rapidez o en su dirección mientras más rápido vaya o mientras más masivo sea. Esto es, en resumen la primera y segunda leyes de Newton (que les mencioné un poco hablando de los karatekas). Para el caso en el que un cuerpo esté girando, existen dos magnitudes anáogas a la velocidad y a la masa. Estas son:
La velocidad angular \omega. Nos dice que tan rápido y en qué sentido gira con respecto al eje de rotación.
La inercia rotacional I. Nos dice qué tanto se opone un objeto a rotar alrededor de cierto eje.
Entonces la torca que tenemos que aplicar (que es como una fuerza que rota) es igual a \frac{\Delta I\omega}{\Delta t}, que depende de la dirección de la rotación y los ejes. En el caso de la rueda sin girar, la velocidad angular es nula, entonces la torca aplicada es pequeña, pues sólo se está cambiando el eje de orientación (la inercia rotacional). Pero cuando la rueda está girando, la torca que debemos de aplicar es más grande, porque tiene una velocidad angular grande que al multiplicarla por I nos da una cantidad mayor que cuando la rueda está estacionaria.

¿Y de qué puede servir que cuando esté rotando sea más difícil cambiar la orientación? Pues en sistemas en los que convenga mantener la orientación, sin que los estímulos externos afecten mucho. Y, se llegó a la construcción del giroscopio, usado por John Foucault para observar la rotación de la Tierra. ¿Por qué de la Tierra? Porque la Tierra es un giroscopio, pero eso lo mencionaré más adelante. Un giroscopio es un dispositivo, que, debido a su rotación o a su estructura, tiende a llegar a un equilibrio en su movimiento o posición. Los giroscopios mecánicos actuales constan de:

Estructura de un giroscopio mecánico.

  • Un armazón, para darle estructura.
  • Un cardán, que se puede mover libremente y por su gran cantidad de movimiento angular, permite mantener la orientación del rotor.
  • Un rotor que gira alrededor de un eje de rotación, colocado dentro del cardán.
  • El rotor se pone a girar, y, como el cardán puede moverse libremente, los estímulos externos afectan el cardán y lo hacen rotar, pero por su disposición, sólo es el cardán el que se mueve, y la dirección del rotor permanece constante. Para que se den una idea del movimiento angular que llega a alcanzar el cardán, vean el siguiente video donde está una persona sujeta al cardán de un giroscopio, sin rotor.

    Su libertad de movimiento permite que rote más rápido o más lento (diferentes velocidades angulares) y que cambie de orientación (diferentes inercias rotacionales). Esto provoca una cantidad de movimiento angular muy grande, que, al colocar un rotor dentro del cardán, hace que dicho rotor mantenga su equilibrio en la rotación. Dicho equilibrio se utiliza, por ejemplo, en los viajes, pues un sistema de navegación (como una brújula, aunque también se puede usar para aparatos que no utilicen el magnetismo) situada en el giroscopio mantendrá su orientación independientemente de los bamboleos del viaje. Existen otros tipos de giroscopios, como electrónicos, de microchips, de fibra óptica. Y se han logrado hacer tan pequeños que se han incorporado a aparatos electrónicos, como los celulares que detectan la orientación con respecto a la gravedad.
    En un giroscopio puede ser tan grande la tendencia a mantener el equilibrio en su movimiento, que incluso se pueden incorporar desde una posición horizontal, como lo pueden ver a continuación:

    Y, como gran parte de los descubrimientos científicos, el principio del giroscopio se puede observar en varios elementos de la vida cotidiana. Al hacer que ruede una moneda por el piso (que difícilmente lograríamos poner de pie si se encuentra quieta), o al andar en bicicleta estamos haciendo uso del principio del giroscopio: la dinámica rotacional. De hecho, un juego que varias veces se vio cuando íbamos en la primaria (y tal vez se vea actualmente), consistía en hacer funcionar giroscopios. Estoy hablando del trompo.
    Para terminar, les mencioné anteriormente que la Tierra es un giroscopio. Muy probablemente hayan oído hablar que el eje de rotación de la Tierra tiene un ángulo de 23.5° con respecto a su órbita. Pues bien, la razón de que siempre mantenga ese ángulo y no esté girando como burro sin mecate mientras se mueve alrededor del Sol es su rotación. Por la rotación de la Tierra, esta actúa como un giroscopio y mantiene su orientación constante. Esta es la razón por la que tenemos estaciones del año. Si no mantuviera su orientación, la Tierra estaría girando en todas direcciones mientras recorra su órbita, no tendríamos un clima definido, ni regiones naturales y muy probablemente no habría vida en el planeta. Esta es otra aplicación, pero ahora hablamos de una aplicación cósmica de los giroscopios. Les haya gustado espero. Saludos.
    Eclíptica-plano-lateral-ES-2326

    Agréguele inmoralidad al gusto. Cueza durante una vida… (Parte II)

    @offtopic: Pena ajena con mi tardanza, disculpen, exámenes finales, pánico creciente. Acabo mi post bonito. 

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    Me quedé anteriormente en que Adam Smith era un filósofo/economista y que había una relación entre la oxitocina y la moral; pero ahora, hablaré de cómo la falta de moralidad se relaciona con la ausencia de oxitocina.

    Hay una estafa muy vieja que se le hace a los empleados de autoservicio de ciudades pequeñas, o de carreteras. Consiste en lo siguiente: un hombre llega a tu persona, la cual desempeña algún cargo como cajero o despachador, o esas cosas con una caja de joyería. La abre, y te muestra su contenido (collar, aretes, o alguna joya que luzca cara), diciendo: “Oye, estaba en el baño de hombres, y encontré esto. ¿Qué opinas sobre lo que deberíamos hacer con esto?”. Confío en que pienses cosas como: “Déjalo con el vigilante” o “Ponlo en los objetos perdidos”. El hombre te dirá: “Yo creo que esto es muy valioso, y deberíamos encontrar a su dueño”. Mientras sus cabezas piensan sobre cómo encontrar al dueño, el teléfono suena, diciendo: “Hola, perdón, hace un rato estaba en tu tienda, y perdí ahí una caja de joyería. ¿la habrás visto?”. Supongo que dirías que sí, que un hombre la acaba de encontrar, y que pedirías informes sobre la joya, a lo que te contestarían: “Oh, sí, era un collar/arete/… de perlas/diamantes/… Espérame, dile al hombre que espere, llego en una media hora, y le daré, $X000 pesos de recompensa”. Así que, suponiendo que todo lo anterior supuesto fue cierto, dirás al hombre algo como “Pues espérate, dice el señor que viene por su joya, y que te dará tanto de recompensa”, a lo que te contestarán “No puedo, tengo Y que hacer. Mira hagamos esto: te daré la joya, me das la mitad de la recompensa, y cuando el señor venga, …”

    Lalala… Confío en que no caigan todos :). La manera en que la estafa anterior funciona es que no es el estafado quien deposita su confianza, sino el estafador confía en su víctima, lo cual hace que ésta libere oxitocina, obviamente dando el dinero al estafador. 

    La solución a esto sería que la gente no liberara oxitocina ante las muestras de confianza. El 5% de la población es así de rara. Los demás, por supuesto, caemos en la trampa. De manera “natural”, hay formas de inhibir la oxitocina, como teniendo una alimentación deficiente, o teniendo experiencias traumáticas fuertes, como una violación. De manera no tan salvaje, al estar estresado se inhibe la producción de oxitocina, lo cual hace que tu rendimiento no sea el máximo. 

    No tan “naturalmente”, la oxitocina puede ser inhibida por la acción de la testosterona. Hombres con altos índices de testosterona normalmente no comparten dinero, son egoístas, sin embargo, hombres con mucha testosterona tienden a usar su dinero para castigar a otros por su egoísmo. Lo anterior es muy curioso: implica que, en los hombres, están las moléculas opuestas en la moralidad; la oxitocina nos conecta con otros, nos genera esa empatía, y la testosterona nos hace querer castigar a los demás. No necesitas más conciencia que esto.

    Finalmente, un ejemplo de cómo esto se ocupa en la vida. Las bodas. Las bodas provocan liberación de oxitocina de manera muy particular. El centro del sistema solar nupcial es, por supuesto, la novia. Ellas tienen el mayor aumento de oxitocina. Posteriormente, la madre de la novia, el novio, la familia, los amigos. Esto es muy curioso, puesto que es como si, inconscientemente, la boda fuese un ritual para conectarnos con la nueva pareja a nivel emocional. ¿Por qué? Porque los necesitamos para la reproducción, para perpetuar la especie.

    La oxitocina nos conecta con los otros. Nos hace sentir lo que sienten los demás. Es muy fácil hacer que los cerebros liberen oxitocina. Sé cómo hacerlo y mi manera favorita de hacerlo, de hecho, es la más fácil. Es abrazar. Ocho abrazos al día te hacen liberar bastante oxitocina, esto es, ser más feliz, puesto que tienes mejores relaciones de todo tipo. Aunque la dosis puede aumentar. (:

     

     

    La endosimbiosis: El legado de Lynn Margulis

    La entrada de hoy estaba planeada para hablar sobre la anatomía de los genomas procariontes, pero dado al triste y reciente fallecimiento de la Dra. Lynn Margulis he decidido dedicar esta entrada a ella y su obra… bueno, más que nada a su obra y el maravilloso legado que nos ha dejado a todos los biólogos del mundo, tanto investigadores como estudiantes. Realmente no escribiré una biografía. En primer lugar porque creo que hay cosas mucho más importantes respecto a ella que dónde nació o dónde estudió la primaria. En segundo porque si me pusiera a hacer un listado de todos sus estudios y premios recibidos a lo largo de su carrera científica nunca acabaría.

    Lynn Margulis.

    Lo primero que tienen que saber de Lynn Margulis es que era bióloga evolucionista, y que se le conoce mundialmente por su extraordinaria teoría de la endosimbiosis y por la controversial teoría de la simbiogénesis. Lo segundo es que era fan de la simbiosis, que es un tipo de interacción entre dos organismos de diferente especie en que ambos resultan beneficiados.

    La teoría de la endosimbiosis describe el surgimiento de las células eucariontes a partir de organismos procariontes ¿así o más ambiciosa?

    Si recuerdan un poco sus cursos de biología, los organismos procariontes son aquellos que no poseen un núcleo definido ni organelos vesiculares; el único lugar donde tienen membrana es alrededor de la célula, a excepción de las cianobacterias. Ejemplos de organismos procariontes son todas las bacterias, como las que viven en nuestros intestinos o las que producen enfermedades; y las arqueas, que viven en lugares poco comunes (¿recuerdan a los microbios intrépidos que viven en zonas que para nosotros serían muy peligrosas de los que les hablé en mi primera entrada?). Los procariontes tienen su material genético comprimido en un espacio de su célula llamado nucleoide, pero no está separado del citoplasma, es decir, el resto del contenido celular; además, todos sus procesos metabólicos, como la respiración o la fermentación, dependiendo del caso, son llevados a cabo en el mismo citoplasma.

    Si estás leyendo esto eres sin lugar a dudas un eucarionte. Los eucariontes somos los organismos que en nuestras células tenemos un núcleo definido por una doble membrana y organelos también delimitados por membrana, como las mitocondrias o los cloroplastos, dependiendo del caso. Podemos ser desde multicelulares como nosotros o unicelulares como las amibas. Nuestra información genética está contenida dentro de los núcleos, mientras que los procesos metabólicos los hacemos en los organelos: los animales y casi todos los eucariontes respiramos en las mitocondrias, mientras que las plantas y algas además realizan la fotosíntesis en los cloroplastos.

    Esquema de una célula procarionte (a) y una eucarionte (b). Brock et al (2007)

    La alocada pero genial idea de Lynn Margulis es que los organelos membranosos de los eucariontes surgieron a partir de procariontes en una historia parecida a esta:

    Un procarionte depredador que no realizaba respiración celular un día fagocitó (es decir, se comió, en el lenguaje de las células) a un procarionte más chico que sí respiraba. Sin embargo, una vez que lo tuvo dentro de su célula, en lugar de digerirlo lo dejó vivo por cuestiones que aún se desconocen, pero pueden haber sido fallas en su metabolismo. De este modo, tuvieron una convivencia que benefició a ambos, pues mientras el procarionte depredador protegía al más chico, el segundo respiraba y le otorgaba los beneficios de este tipo de metabolismo: así habría surgido la primera mitocondria dentro de una célula por simbiosis.

    De un modo similar, un procarionte fotosintético habría sido engullido por un procarionte más grande (que al parecer ya tenía mitocondrias), y en lugar de ser digerido, se conservó dentro de la célula, dando lugar a los cloroplastos.

    Esta teoría puede sonar un tanto extraña y fantasiosa quizás. ¡Bacterias que son devoradas por otras para dar origen a los organelos eucariontes! Bueno, en un principio la recepción del mundo científico fue muy escéptica, pero las pruebas no faltaron en presentarse. A continuación les mencionaré unas cuantas razones para creer que la endosimbiosis fue un proceso que en verdad sucedió:

    • La estructura de las mitocondrias coincide con las de bacterias respiratorias actuales. Es decir, las bacterias que respiran realizan la respiración celular con unas proteínas especializadas de su membrana plasmática, es decir, la externa, que es la única membrana que tienen en su célula; y si analizamos la anatomía de una mitocondria, podemos observar que consta de dos membranas: una externa y una interna, y es la interna la que realiza las reacciones de respiración, por lo tanto, podríamos decir que la membrana interna corresponde a la membrana plasmática del procarionte respirador y la membrana externa correspondería al fagosoma con que el procarionte depredador engulló al primero. El siguiente esquema permitirá entender esto un poco mejor.

    En este esquema se compara el proceso de fagocitosis (fragmento de Lodish et al 2008) con la mitocondria eucarionte. Se puede apreciar cómo la membrana plasmática de la bacteria coincide con la membrana interna de la mitocondria y el fagosoma coincide con la membrana externa.

    • Del mismo modo, el cloroplasto coincide con un grupo de bacterias llamadas “cienobacterias”. Estos organismos tienen la membrana plasmática que rodea sus células y una membrana interna grande en la que tienen la maquinaria fotosintética llamada “lamela”. Si observamos el cloroplasto, vemos que tiene tres membranas: una externa que coincide con el fagosoma, una intermedia que coincide con la membrana plasmática de las cianobacterias, y una interna fotosintética, que coincide con las lamelas de las cianobacterias.
    • Tanto mitocondrias como cloroplastos tienen un pequeño cromosoma circular muy parecido al de las bacterias y que contienen genes propios, independientes a los del núcleo de los eucariontes. Por si fuera poco, los análisis moleculares han descubierto gran coincidencia en las secuencias y genes de los mitocondrias y cloroplastos con los de las bacterias respiradoras y cianobacterias. respectivamente.
    • Existe un grupo de algas microscópicas, llamadas “galucocistofitas”, cuyos cloroplastos tienen entre la membrana externa y la intermedia (entre fagosoma y membrana plasmática) un remanente de lo que parece ser una pared celular de la misma composición de la que tienen las cianobacterias afuera de su membrana plasmática.

    Para concluir, quiero decirles que realmente me pesa mucho el fallecimiento de Lynn Margulis, pues hemos perdido a una de los grandes genios de la ciencia. Yo personalmente tenía muchas ganas de conocerla, lo cual no habría sido difícil, pues solía ir con frecuencia a dar conferencias en la UNAM. Respecto a su otra teoría, la evolución por simbiogénesis, he de admitir que no me fascina tanto como la endosimbiosis, pero hay algunos hechos que me ponen a pensar al respecto y no quiero definir aún mi postura referente a ese tema. Quizás en adelante haga una entrada de ello, pero aún no lo he planeado.

    Pequeño homenaje a Lynn Margulis junto al busto de Charles Darwin en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

    Como curiosidad, Lynn fue esposa del astrónomo Carl Sagan.

    ¿Penrose pavimenta mi libreta?

    Una vez ya platiqué un poco acerca de lo que son los teselados. Ahora platicaré de uno muy especial que allí mismo comente como ejemplo. Pero empecemos diciendo quien fue Penrose.

    Roger Penrose es un físico matemático ingles y maestro de la Universidad de Oxford. Hizo aportaciones muy importantes en el área de matemáticas y física, trabajando junto con Stephen Hawking (físico) y John Todd (algebrista y geómetra).

    Podría describirles los trabajos que hizo pero son algo complicados de explicar, así que sólo diré que en 1974 descubrió lo importante en esta entrada: los teselados de Penrose.

    Teselación de Penrose

    Los teselados de Penrose son teselados no periódicos generados por un conjunto de baldosas (piezas) de Penrose, es decir, las piezas son las llamadas de Penrose y a los teselados formados por estas piezas son llamados teselados de Penrose.

    Pero ¿por qué son tan importantes? Bueno, tienen algunas propiedades muy interesantes.

    Como ya se dijo, es no periódica, es decir, si le sacamos una copia al teselado y la tratamos de encajar en la original, nunca podremos embonarlas de forma perfecta en otra posición que no sea la original. Cuando se cumple esto decimos que carece de simetría translacional (que por más que traslademos, no podremos tener el original)

    Si tomamos una región limitada de este teselado, la encontraremos infinitamente en este teselado. Esta propiedad suena inútil en los teselados de la vez pasada, pero tratándose de un teselado sin simetría translacional es muy importante.

    Un hecho muy interesante, es que cuando Penrose describió estos teselados en un documento llamado “papel de la estética en la investigación pura y aplicada” solo una quinta parte hablaba de estas figuras, pero el dijo que eran el tema central. También dice que se inspiro en un libro de Kepler “Harmonices mundi”, estudiando (en el libro de Kepler) los teselados pentagonales; que podemos extender a teselados de Penrose.

    Teselado P1

    Ahora también tendremos unas “reglas”, que más que nada es como podemos embonar las piezas, y sólo así se pueden embonar.

    Como sabemos ya, los únicos teselados de figuras regulares que podemos hacer son 3: con triángulos, cuadrados y hexágonos. Sin embargo con pentágonos podemos hacer teselados incluyendo otras 3 figuras: un diamante, una estrella de 5 picos y 3/5 de estrellas de 5 picos. Además de esto, podemos poner a los pentágonos en 3 formas distintas y así tener 3 tipos de pentágonos teniendo en total 6 figuras: el diamante, la estrella, el pedazo de estrella y los 3 pentágonos (en la figura, marcados con 3 colores distintos). A este tipo de teselado se le llama P1

    El P2 (que ya jugué un rato con él y es muy divertido) es el de las baldosas de la cometa y la flecha.  Como podemos ver, la cometa es un cuadrilátero y la flecha lo es pero convexo, además que se agregan unos trazos extra, que lo harán más interesante. Solo si estas formas extras coinciden con la de la otra figura, podemos hacer la forma. Es por eso que, por ejemplo, no podemos unir (como se ve en la figura) así como tal, y sí embonan, pero las líneas extras rojas nos lo impiden.

    Baldosas de la cometa y flecha para teselado P2

    El P3 tiene dos rombos, uno delgado y otro más grueso, y como en el anterior tiene líneas extras en su forma. Podemos tener 54 combinaciones con estas figuras, sin embargo, si queremos que este sea aperiódico, solo tenemos 7 combinaciones. La idea es la misma que en el anterior, unimos por las líneas extras. Podemos hacer ensamblados de tal forma que podamos hacer la cometa y la flecha. Un ejemplo de este tipo de teselado se puede ver en la primer figura.

    Este último teselado tiene algunas cosillas interesantes:

    Baldosas de rombo para teselados P3

    La relación que existe entre rombos pequeños y grandes en un teselado infinito es la razón aurea (φ), que Luis hablara un poco mas después de este numerito.

    Alrededor de una estrella formada por 5 rombos grandes podemos tener una espiral de Fibonacci.

    Y más cosas un poco más complicadas acerca de la razón aurea.

    También existen cosas interesantes dentro del mundo no matemático.

    En decoración del arte de medio éste se ocupaba. Se ha observado que en el arte islámico medieval se utilizaba. En la Universidad de Western en Australia, el suelo es de baldosas de Penrose. El computólogo  Jos Leys ha hecho variaciones de este teselado. Incluso la compañía Pentaplex entro en juicio con Kimberly Clark por utilizar este tipo de teselados en un tipo de papal de baño.

    Se ha llegado a observar que en la organización de de átomos en cuasicristales, este teselado es apreciable.

    Como podemos ver este tipo de figuras tan simples como se podían ver en la entrada pasada, son un poco más complicadas e incluso algunas propiedades y aplicaciones aparecen siempre.

    Suelo de la Universidad de Western en Australia

    Índice de imágenes:

    [1,2,3,4,5] http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrose

    Soluciones del desafío

    Ahora sí, vamos a ver las soluciones al desafío que les dejé hace un par de semanas. Lamentablemente hubo muy poca participación =( creo que no les gusta la probabilidad…

    Bueno veamos las soluciones, les pondré de nuevo el enunciado para que se acuerden y después la solución

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    1) Varones contra mujeres.

    George Gamow y Marvin Stern, en su estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuanto una madre de a luz su primer hijo varón, se le prohibirá tener más niños.

    De esta manera, argumentaba el sultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de un varón. No pasaría mucho tiempo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de varones.
    ¿Crees que la ley del sultán dará resultados?

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    La respuesta es, NO, no funcionará la ley del sultán.

    Como les dije en la pista de la semana pasada, tenemos que ver qué pasa en el tiempo. En lo que tenemos que fijarnos no es en la cantidad de mujeres en una familia, sino en la cantidad de mujeres en una generación.

    En la primera generación de mujeres, la mitad tendrá varones y la otra mitad tendrá mujeres. Por la ley del sultán, solo las mujeres que tuvieron hijas, podrán seguir procreando, sin embargo, la mitad de ellas tendrá varones y la otra mitad mujeres. Y así sucesivamente.

    Hice la siguiente imagen en Paint (un poco abstracta XD), para que se entendiera mejor. Con rojo represento a las mujeres, y con azul a los hombres. Cada nivel es una nueva generación en la familia. Noten que aunque las familias tendrán más mujeres, lo cierto es que entre cada generación nace la misma proporción de hombres que de mujeres.

    La proporción entre hombres y mujeres en cada generación es la misma

    Por lo tanto la ley del sultán no funcionará.

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    2) Dentro de un sombrero hay 3 tarjetas. Una tiene las dos caras rojas, la segunda tiene una cara roja y una cara blanca y la tercera sus dos caras blancas. Sacas una tarjeta del sombrero. La cara vuelta hacia ti es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que se te oculta sea igualmente roja?

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    Este estaba un poco más sencillo aunque a nuestra intuición le gusta engañarnos con este viejo truco. En realidad es muy parecido al problema de Monty Hall.

    Solemos pensar lo siguiente. Hay 2 tarjetas que tienen alguna cara roja, y evidentemente sacamos una de ellas. Una de ellas tiene atrás una cara blanca y la otra una roja, así que la probabilidad de que la cara oculta sea roja debe ser 1/2.

    Pues ¡No! Piénsenlo así, la cara roja que están viendo puede ser la cara A de roja de la tarjeta roja-roja, la cara B de la tarjeta roja-roja, o la cara roja de la tarjeta roja-blanca. Así que en realidad su probabilidad es 2/3

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    El dilema del prisionero

    3) Tres prisioneros A, B y C han solicitado su libertad condicional. Se ha decidido que se van a liberar 2 de los 3 prisioneros, los prisioneros saben esto, pero no saben a cuales 2. Un carcelero, amigo del prisionero A, sabe quiénes van a ser liberados. El prisionero A se da cuenta que no sería ético preguntarle al carcelero si él, A, será liberado, pero piensa en preguntarle el nombre de un prisionero distinto de él, que vaya a ser liberado. Él piensa que antes de preguntar, sus probabilidades de ser liberado son 2/3. Pero si pregunta, y el carcelero le dice “B va a ser liberado”, sus probabilidades han bajado a 1/2, pues el otro prisionero liberado puede ser A o C. Entonces A decide no reducir sus probabilidades preguntando. Sin embargo, A está equivocado en sus cálculos. Expliquen.

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    Este fue el único problema para el que dieron una respuesta =). Muchas felicidades a Jetsabel, aquí les dejó su solución:

    El dilema del prisionero es parecido a las catafixias de chabelo.
    No sé bien si la explicación este correcta pero se me ocurre lo siguiente:

    En si hay tres posibilidades:
    ABc
    AbC
    aBC
    (en mayúsculas los que serán liberados)

    En cualquiera de los casos o B o C serán liberados.
    y como a A le es indiferente cuál de los otros sea liberado en tanto que él sea liberado, asi q siendo B y C indiferentes para A, la información que le proporcione el carcelero sera trivial, y sus posibilidades siguen siendo 2/3.

    ¡Exactamente! Otra vez el truco de Monty Hall. Es cierto que hay 2 formas en las que él carcelero le diga “B va a ser liberado”, pero el chiste es que no “pesan” lo mismo. La primera es cuando van a liberar a A y B, donde siempre se lo dice, y la segunda es cuando van a liberar a B y C, donde se lo dice la mitad de las veces. Es decir que es más probable que le diga la primera. Por lo que su probabilidad sigue siendo 2/3.

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    4) El duelo de las 3 esquinas

    A, B y C van a jugar un duelo de pistolas. Todos saben que A tiene una probabilidad de golpear a su adversario de 0.3, C de 0.5 y B nunca falla. Jugaran de forma cíclica por turnos, empezando con A, luego B, y al final C. Aunque claro, si alguno recibe un balazo deja de jugar. Continúan jugando hasta que quede un hombre. ¿Cuál debería ser la estrategia de A?

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    Aquí si había que meterle números, lo siento =)

    Primero, obviamente no le va a querer disparar a C. Si le atina, está muerto, pues B le dispararía a él y B nunca falla.

    ¿Qué pasaría si le dispara a B?

    Si no le da, B atacaría al que representa más peligro, es decir C. Entonces A tendría una nueva oportunidad con probabilidad de .3 de ganar, si vuelve a fallar pues ya se murió.

    Si sí le da, entonces se batiría a un duelo contra C, con C teniendo la ventaja pues iniciaría con el primer disparo.

    Puede que suene difícil calcular la probabilidad de ganar en una situación así, que se puede prolongar hasta infinito… pero en realidad es sencillo… si saben sumar. Solo hay que sumar la probabilidad que tiene de ganar en cada turno.

    Por ejemplo para que gane en su 4to turno, debe darse la casualidad de que C haya fallado sus 4 tiros, y A haya fallado sus 3 tiros anteriores, por lo que la probabilidad de que gane en su 4to turno es el producto

    (0.5)^4(0.7)^3(0.3)

    Ahora simplemente hay que sumar sobre todos los turnos (la probabilidad que gane en el primero, más el segundo, más el tercero, ….)

    Si, una suma infinita, pero confiaré en que conocen la serie geométrica

    Entonces su probabilidad de ganar es de

    (0.5)(0.3)[1+(0.5)(0.7)+(0.5)^2(0.7)^2+(0.5)^3(0.7)^3+...]=\frac{(0.5)(0.3}{1-(0.5)(0.7)}

    =\frac{.15}{.65}=\frac{3}{13}

    Notemos que 3/13 es menor que 3/10, entonces resulta que le conviene más batirse en duelo solo contra B, y dejarlo toda a su suerte en un solo disparo.

    Así que si ustedes fueran A, lo que más les convendría sería disparar al suelo, o fallar adrede y en su siguiente turno intentar vencer a B.

    Como pueden ver, saber probabilidad es un asunto de vida o muerte =).

    Y con esto acabo con la serie de paradojas de la probabilidad. Ojala les haya gustado. Espero que la próxima vez que les ponga problemas haya más participación.

    Tengo ganas de hacer más series pronto… ya las verán después…. pero díganme ¿qué otra serie les gustaría que hiciera próximamente?

    Kepler (parte 3)

    Hoy en el Imperio estamos muy tristes por el fallecimiento de la Dra. Lynn Margulis, una de las biólogas evolucionistas más importantes de nuestros tiempos. Se le reconoce mundialmente como creadora de la teoría del origen de los eucariontes por endosimbiosis y de la teoría de la simbiogénesis. Descanse en paz.

    Siguiendo con Kepler:

    Nos habíamos quedado en que Kepler era matemático de la corte de Praga, un título ya importante.  Ahora, Kepler estaba trabajando en varias cosas, ya había hecho su “Astronomía nova”. Luego publicó una segunda versión de “Misterium Cosmographicum”, aunque no le cambió nada, sólo puso pies de página. Kepler seguía con esa idea de simetrías, armonías y sólidos platónicos que tenía antes de hacer su libro de astronomía.

    Ahora va la parte triste de la vida de Kepler. Al morir Rodolfo II, ya no tenía tanto dinero, pues es aquí donde empieza la guerra de los 30 años. Empieza a hacer horóscopos para venderlos (a pesar de que le encantaban y le encantaba la astrología) y así ganar un poquito de más dinero. También su esposa se muere, aunque, por tener el cargo de matemático imperial, al parecer en una carta que le envía a un amigo suyo, logra conseguirse 11 prospectos a esposa (pues quería volverse a casar). Esa carta está, diré chistosa, por no poner ofensiva. Hablaba de las candidatas y de por qué no quería escogerlas por el físico o alguna cosita de la actitud. Al final escogió a la número 5 (les ponía números), llamada Susana . Fue muy feliz con ella, a pesar de que (como puso en su carta) tenía una  según él pasión dormida y aún así tuvieron muchos hijos. Aquí otra vez cae la desgracia, pues se mueren algunos de sus hijos, incluida una niña a la que adoraba.  Además, como ya les había comentado, a su mamá la acusan de ser bruja. Es por estas fechas. Lo que pasa es que, claro que no era bruja, pero en la época todos estaban muy paranoicos y la mamá de Kepler no era una persona muy agradable. Kepler, a pesar de sus problemas familiares, acude a ayudarla, así que 6 años de su vida se los pasa yendo a Alemania tratando de salvar a su mamá. Al final lo logra, la consideran inocente, y es todo gracias a que Kepler, pues siendo matemático de la corte de Praga tenía mucho reconocimiento.

    En fin, estaba en un punto muy inestable de su vida, y para salir adelante, se pone a trabajar mucho. Y en el caos, logra sacar su libro en el que (según él) por fin logra entender la mente de Dios, el “Harmonices mundi”. Este libro consta de 5 tomos, cada uno dedicado a armonías de diferentes materias: matemáticas, música, astrología, física y astronomía.

    Para el libro de astronomía, su prefacio es muy sorprendente pues pone a un descubrimiento en particular en un gran pedestal. En este libro está su tercera ley (pero no es lo que lo impresiona). Lo que le sorprende a Kepler es que se pone a un poco ver las relaciones entre las velocidades angulares de los planetas y relaciona esos números con música. Así es, él dice haber descubierto la música de las esferas. La de la Tierra, por ejemplo, es algo sencilla: “Mi, fa, mi”. Kepler nos dice que por eso hay tantos problemas, pues la sinfonía de la Tierra dice miseria, hambre (famine), y más miseria.

    Desafortunadamente, queridos lectores, nos acercamos al final de su vida. Para él, esta fue su obra maestra,  ya había leído la mente de Dios. Era muy feliz con su esposa. A pesar de no tener tanto dinero como quería, seguía trabajando, con sus horóscopos e incluso puso una pequeña imprenta donde hizo un cuento de ciencia ficción (sino el primero, de los primeros cuentos de ciencia ficción) que trata de Kepler que sueña que lee acerca de un personaje que por como lo trata su mamá y por su familia se infiere muy fácilmente que es Kepler (con otro nombre) y que viaja a la Luna por una brujería de su mamá (ven). En la Luna se encuentra extraterrestres y una fauna muy interesante. Es un libro muy curioso, pues habla, por ejemplo, del momento de gravedad cero, muy avanzado para su época.

    No terminó muy bien este cuento, pues… me duele decirlo… pero… nuestro perrito sarnoso, el gran y fantástico Kepler (sí, soy fan)… se va a un mundo mejor… en 1630, Kepler muere… L Y no me gusta hablar de eso, así que para la próxima, hablaremos de un personaje ya más conocido, Galileo.

    Que se rompa sin moverse

    Es increíble como los karatekas pueden destruir ladrillos o bloques de cemento con un sólo golpe de su fuerza poderosa.

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    Karateka poderoso destruyendo una pila de ladrillos.

    Parece que tienen poderes sobrenaturales, pero esto se debe al principio de la inercia, mejor conocida como la Primera Ley de Newton. Esta dice que “todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento rectilíneo y uniforme hasta que una fuerza lo saque de ese estado”. Es decir, que si un cuerpo no recibe fuerzas o las fuerzas que recibe se anulan todas, entonces al cuerpo le gusta quedarse como está.
    Las tan famosas tres leyes de Newton (a ver, a ver, seguro que se las saben recitadas de memoria) se pueden resumir en una sola: la segunda. Pero no en la forma de fuerza es igual a masa por aceleración, sino en la forma moderna, (poniendo cara de enciclopedia) de que la fuerza es igual a la derivada del momento con respecto al tiempo.
    Es decir:
    F = \frac{d\vec{p}}{dt}
    ¿Que qué que qué que qué?
    Más despacio, más despacio. Primero, el momento es la cantidad de movimiento que tiene un cuerpo, y tiene que ver con que tanta masa tiene el cuerpo y con la velocidad que lleva. Un cuerpo idéntico a otro que tiene mayor velocidad que el primero, tendrá más momento. Y un cuerpo A viajando a la misma velocidad, pero más masivo que otro cuerpo æ, tendrá más momento. Entonces el producto de la masa por la velocidad es el momento.

    Y la fuerza promedio sobre un cuerpo es qué tanto cambia el momento en el tiempo.
    Es decir
    F = \frac{\Delta(m\vec{v})}{\Delta t}

    (Si agarramos los elementos de tiempo chiquititos chiquititos, llegamos a la derivada)
    O desarrollando,
    F = m(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t})+v(\frac{\Delta m}{\Delta t})

    En el golpe karateka, supongamos que la masa del objeto que golpea no cambia. Pero el karateka le da a las partes del ladrillo o de la madera un aumento grande de la velocidad. Si tiene una técnica lo suficientemente buena, y el objeto es lo suficientemente rígido el karateka logrará que el tiempo en el que pasa el golpe (llamado tiempo de contacto) sea muy pequeño y por lo tanto, la fuerza que se imprime sobre el cuerpo sea muy grande y se rompe. Pero si la mano del karateka rebota en la superficie, o el objeto se flexiona al recibir el golpe: ¡ouch! El tiempo de contacto es mayor; la fuerza no es la suficiente para romper el bloque y la fuerza se le regresa a la mano del karateka.

    Ustedes pueden sentirse karatekas y usar la inercia como superpoder, con los siguientes experimentos, que van aumentando de nivel de dificultad (atención, el Imperio de la Ciencia no se hace responsable por rotura de objetos frágiles).

    1. Pongan una pila de cajetillas de cerillos vacías. Con una regla delgada, empujen rápidamente una de ellas. Si lo hacen lo suficientemente rápido, saldrá proyectada la cajetilla que golpearon y las demás caerán en su lugar.
    2. Sostengan dos aros de papel idénticos en los filos de dos cuchillos. De los aros sostengan un bambú o una caña lo más seca posible (¿por qué tiene que estar seca?). Su reto es, con un bastón rígido, dar un golpe lo suficientemente enérgico para que la caña se rompa sin que los cuchillos corten los aros de papel.
    3. Similar al anterior, pero ahora, suspendiendo la caña de dos alfileres puestas sobre dos copas. Si usan la inercia bien, lograrán romper la caña sin que se rompan las copas ni que se derrame líquido de ellas.
    4. Y por último. En una mesa con un mantel, donde haya objetos no tan pesados (es decir que no aplasten el mantel, evitando que se mueva), con un tirón enérgico y hacia abajo, pueden quitar el mantel sin que se muevan los objetos sobre él colocados.

    Les pongo un video donde se muestra este experimento. ¿Por qué el segundo mesero falla?

    Cuatro Ciénegas, Un valle en medio del desierto con vida prehistórica

    Cuatro Ciénegas es un valle perdido en el desierto de Chihuahua que tiene como 300 pozas de agua de colores.  Emergió del mar hace muchos millones de años, cuando la corteza terrestre se dividió, el valle quedó aislado por las diversas montañas que lo rodean y en la laguna comenzó una forma de vida muy singular que es un tesoro invaluable para la humanidad.

    En Cuatro Ciénegas es posible encontrar especies animales y vegetales endémicas que tuvieron un proceso evolutivo como el que encontró Charles Darwin en las islas Galápagos. Se trata de una zona con alta densidad de especies endémicas, esto es, especies que solo pueden ser encontradas ahí y en ningún otro lugar del planeta. Esto es especialmente notorio en las especies acuáticas que no existen en ninguna otra parte del mundo. Hay algunos peces y animales característicos de lagunas, tortugas que parecen marinas, pero sobre todo hay estromatolitos, que alimentan a estos peces y caracoles como en el principio de la vida. Los estromatolitos, sin alardear, ¡fueron los organismos que inventaron la fotosíntesis! y sí, se encuentran en ese recinto natural.

    Estromatolitos vivos en Cuatro Ciénegas, los primeros fotosintetizadores del planeta.

    El agua de Cuatro Ciénegas le daba de beber a las criaturas más antiguas que han existido, muchas de las cuales, no conocemos. Ellas transformaron el planeta tierra en un planeta habitable. Cuando ellas surgieron en el Arqueano, hace 3 mil 800 millones de años, la atmósfera era irrespirable, era de CO2. El CO2, dióxido de carbono, es con lo que te puedes suicidar, si quieres; y el mar, es ácido sulfúrico. Estas pequeñas criaturitas, que sobrevivieron para contarnos la historia de Cuatro Ciénegas, cambiaron primero la atmósfera a una atmósfera de oxígeno que ahora respiramos, es decir, fotosintetizaron por primera vez en la historia del planeta. Luego precipitaron una gran glaciación, que se le llamó ‘la bola de nieve 2’, que le dio agua fresca con fósforo y oxígeno a las primeras algas, aquellas que descubrió la eminente científica Lynn Margulis y gracias a eso estamos aquí, porque esas pequeñas bacterias que hacen los estromatolitos en Cuatro Ciénegas cambiaron el destino del planeta. A ellas les debemos no sólo la civilización sino el estar vivos. Las formas de vida aquí son tan extremas y tan antiguas, que incluso la NASA ha hecho estudios aquí para estudiar posible vida en Marte.

    Valle de Cuatro Ciénegas

    Valle de Cuatro Ciénegas.

    Pero no todo es miel sobre hojuelas. La doctora Valeria Souza Saldivar, investigadora del Instituto de Ecología de la UNAM, ha dedicado sus estudios a Cuatro Ciénegas. En un estudio que realizó en Octubre de este año en una de la zona de Churince, la Doctora relata en un escenario donde los peces habían muerto por falta de agua y las tortugas habían rasguñado la tierra antes de morir,  “Lo que más me dolió fueron los rasguños de las tortugas marinas buscando el agua que ya no hay. Las patitas de los coyotes y de los mapaches las encontraron agotadas y se las despacharon cuando ya habían muerto de agotamiento buscando el agua. Los estromatolitos estaban totalmente muertos. Es un crimen, un ecocidio. Lo que me tiene más rabiosa es que se pudo haber evitado, dimos la alarma a tiempo y el gobierno que en teoría iba a actuar, no hizo nada porque le dio la tarea a un inepto: José Luis Luege Tamargo, el comisionado del agua” Este hombre ha vendido el agua de esta zona a empresas lecheras, como Nestlé, Lala y Alpura, quienes la usan para regar cultivos de forraje y alimentar vacas en una zona donde el agua no debería usarse para cultivos.

    “Solo cinco años nos tomó asesinar Churince y ahora queremos salvar los dos tercios del valle que aún pueden rescatarse si se actúa rápidamente y se para la extracción del acuífero con un decreto presidencial de ‘¡Salven esto!”

    “Es inconcebible que se pierda la riqueza de Cuatro Ciénegas por la apatía y la soberbia de individuos como Luege Tamargo instalados en el poder que no tienen la menor idea de la riqueza científica del valle y restan importancia a lo mejor por intereses inconfesables. Si lo que los políticos buscan es popularidad y la simpatía de la gente, que lo consigan a través de un trabajo dirigido al bienestar de la población mexicana y no enfocado a sus intereses personales.

    No todo está perdido, se espera crearse un laboratorio en esa zona que ayude a su conservación y protección, en la que los pobladores de la región se beneficiarían de las investigaciones. Como ciudadanos podemos ayudar informándonos, informando y evitar consumir productos que contribuyan a esta devastación. Como estudiantes, considero que debemos informarnos y contribuir al estudio de esta zona. No solo en el ámbito científico, sino como conocedores de los ecosistemas naturales, buscar tener una voz en la toma de decisiones de los recursos naturales del país.

    Les dejo un video de la Doctora Souza explicando la importancia de Cuatro Ciénegas :) 

    La música ¿invento o descubrimiento?

    Hola, soy Aníbal y les quiero contar un secreto nunca quise ser maestro! Desde niño me encanta la física y las matemáticas, pero me reusaba a estudiar algo por el estilo porque no quería ser maestro y saben que les puedo decir ahora, no hay nada más increíble que ser maestro y ver el brillo de los ojos cuando le hiciste entender a alguien lo maravilloso que es el mundo. Crean que las matemáticas son maravillosas y se necesita tanta creatividad e imaginación como para cualquier arte y quiero convencer de esto a todo el que crea lo contrario. Así que le agradezco a Garma por invitarme a este blog que me parece fantástico y que esperemos que de vez en cuando me dejen echarme mis locuras =).

    Fuera del pésimo título que acabo de inventar de una manera bien original, crean que para este pequeño texto le eche ganitas y me puse a investigar bastante, confieso que varias veces cheque Wikipedia y otras tantas le eche imaginación, así que ni se les ocurra citarme en un trabajo y mucho menos creerme toda la mafufada que estoy a punto de echarme, al menos espero que en este primer artículo y en los demás que planeo hacer, pueda lograr que se interesen en el tema, pues esa es la mejor arma para conocer algo, yo me puedo equivocar un par de veces aquí pero si realmente logró que le encuentren lo maravilloso al tema, igual y ustedes son lo que al rato me corrigen citándome una investigación un poco más seria que Wikipedia o un blog.

    Así pues les explicaré que intentaré hacer. En múltiples ocasiones me he puesto a discutir que tanto los humanos hemos inventado la música. Yo realmente creo que la hemos descubierto, que la música es parte de un místico orden que está en la naturaleza y que afortunadamente hemos tenido el privilegio de poder descifrarlo. Siempre lo he creído y ahora creo que soy capaz de comprobarlo con múltiples explicaciones que compartiré con ustedes y que se las expondré de la manera más simple que pueda.

    Primero les contaré un poco lo que es el sonido y sus propiedades, el sonido es una onda mecánica, es decir una manifestación de movimiento que viaja por un medio gracias a un impulso inicial, hay muchas ondas mecánicas, por ejemplo cuando se toca el agua se ve como fluyen unas pequeñas ondas que se alejan del punto donde se produjo, igual es el sonido sólo que viaja en el aire y llega a nuestros oídos donde unos pequeños huesos son movidos por estas partículas y nuestro cerebro las logra interpretar como sonido.

    Las propiedades que más me interesa que entiendan son la longitud de onda, amplitud y la frecuencia. La longitud de onda es una medida de la longitud de una onda de inicio a fin, es decir, si le tomáramos una foto a una onda, cuanto mediría un solo ciclo, la amplitud es que tan arriba y abajo llega, como pueden ver en el dibujito.

    Ahora la frecuencia es una característica de ondas periódicas es decir que se repiten y repiten, por ejemplo una onda no periódica se causa en un solo golpe, como el de un tambor, y una onda periódica se causa por instrumentos como guitarras, flautas o incluso la voz, donde la fuente sigue generando una onda similar a la anterior creando un flujo continuo donde la siguiente onda está pegada a la anterior. La frecuencia es justo la medida de cuantos ciclos por segundo de producen y en términos prácticos que tan agudo o grabe es un sonido, entre más ciclos por segundos tenga o sea una frecuencia más alta más agudo lo percibimos y entre menos tenga más grabe.

    Pero bueno basta de cosas aburridas, vamos a empezar lo divertido. Empezaré a explicarles una cuerda. Primero quiero que vean este pequeño video que me encontré

    Ahí está todo el misterio de la música escondido! Una cuerda puede vibrar de varias maneras. El más obvio es el primero que mencionan llamado armónico fundamental, pero si se fijan cuando aumenta al doble la velocidad de la mano vibra de una manera distinta, e incluso hay un lugar que no se mueve, vean bien el centro no se mueve! Pero como puede ser si hay ondas viajando por esa cuerda, no se les hace algo muy extraño que haya partes de la cuerda que no se muevan. Pues lo que pasa es que las ondas al encontrarse en un medio suman su amplitud, o sea que si las dos van para arriba crece el tamaño de la onda pero si una va para abajo y la otra para arriba decrece, pueden ver el diagrama de un caso donde las ondas se encuentran y al ser las dos con amplitud hacia arriba crecen.

    Entonces justo en ese punto las ondas hacen exactamente lo contrario se restan totalmente, por lo tanto no se mueve ese punto, pero ¿con qué se resta? Pues justamente con la onda que viene de regreso, como se ve al inicio del video al chocar la onda se regresa por el lado contrario de donde venía y también hay puntos donde se suman totalmente que son los puntos máximos. En conclusión una onda estacionaria se produce con el reflejo de las ondas y la suma de las amplitudes. Y gracias a esto se pueden producir en las cuerdas sonidos tan constantes y precisos que son necesarios para la música.

    Pero lo más interesante es como se relacionan estos armónicos pues esta relación la conocen muy bien los músicos y cualquier humano aunque no sepan toda la física detrás y esto es lo más fascinante que el oído puede percibir el orden natural de las cosas de manera intuitiva. Como necesitaba que escucharan muchas cosas decidí grabar un pequeño video que está a continuación.

    Entonces creo que se puede ver la razón de los diferentes efectos que tiene la combinación de sonidos de que depende y por qué estos efectos son universales, no se ustedes pero yo creo que la música es más descubrimiento que invento.

    Gaia o Gea

    Regresare al sistema solar, jeje y hoy conoceremos un poco más la Tierra que es muy importante para nosotros, sobre todo porque vivimos allí.

    Tierra vista desde satélite

    Y empecemos por el principio, la percepción de nuestro planeta. Quiero hablar un poco de ello, porque es algo que al menos de pequeños siempre nos sucede, al pensar en ello. Veamos la forma; que sucede si les dijera que, por observaciones, veo que la Tierra es plana, y la mayoría de ustedes no tendrá un argumento suficientemente válido para convencerme de lo contrario. Pues esto sucedió hace muchos pero muchos años, la percepción de todas las personas sugería que la Tierra es plana, y sabemos que la idea no es tan descabellada, viendo al horizonte no hay cambios muy notables que indiquen que nuestro planeta tenga otra forma. Sabemos hoy que un gran tipo “demostró” a base de observaciones que la Tierra es de forma esférica. El tipo es Aristóteles y los argumentos que presentó fueron los siguientes:

    -Las personas que van a Egipto u otro lugar, describían estrellas y constelaciones diferentes a las que se veían en Grecia por esos días. Eso quiere decir que la superficie del planeta y la bóveda celeste no son paralelos, y el hecho de ver constelaciones diferentes indicaba que la superficie era curva.

    -La sombre que se proyecta durante un eclipse lunar es siempre de forma redonda, no importando en donde esta la Luna ni la época. Y pues si la sombra que se proyecta siempre es redonda, el objeto que debe proyectar la sombra debe ser esférico.

    -Cuando llega algún barco al puerto, lo primero que se ve es el mástil, no el barco en conjunto, y lo que ven en el barco, son los picos de las montañas y no la isla completa, eso quiere decir que debemos estar sobre una esfera al ser recíprocas las observaciones.

    Estas son observación no con mucho cuidado, porque no se hicieron cálculos acerca de ellos, pero los podemos dar como buenos porque al presentarlos, podemos verificarlos por nosotros mismos y pues no veremos cambios drásticos. Además encajaba con la perfección que se buscaba en el cosmos, la esfera es perfecta, así como los círculos y suena coherente que sobre algo perfecto este hecho nuestro planeta, sobre el que Dios puso a su máxima creación.

    Modelo geocentrico

    Después de ello, llego Eratóstenes y calculó cuanto debía medir una circunferencia sobre la esfera, y llego a que media entre 39.690 km y 46.620 km, hoy sabemos que la circunferencia de la Tierra es de 40,041 km!!! El error de medición es muy pequeño si tomamos en cuenta los instrumentos de medición y la época.

    Algo que siempre nos enseñaron de pequeños es que el viaje de Cristóbal Colon fue para demostrar que la Tierra era redonda y no plana como se pensaba en esos días. Pues lamento decirles que vivieron engañados gran parte de su vida. Por aquellos días, gente con un poco de educación sabía que la Tierra es redonda. Lo que en verdad le interesaba a Colon, y sobre todo a los reyes, eran las rutas comerciales, formas de viajar en menos tiempo. Y en lo que resultó esto, fue el “descubrimiento” de nuestro continente.

    Otra parte importante de esta parte es que se pensaba que la Tierra era el centro del Universo, y quién no lo pensó cuando eran pequeños. Es demasiado intuitivo que al ver pasar sobre nosotros al Sol, la Luna y las estrellas pensáramos que somos el centro de todo. Pero esta es historia sabida, gracias a Ari que ya nos contó varios aspectos sobre esto.

    Veamos un poco de la formación de la Tierra. Y empecemos 4,600 millones de años antes. Cuando el planeta era apenas un planeta no tan grande como lo es ahora. Y aquí empieza una era llamada eón Hedaico (el eón es un periodo en los que se divide la historia desde el punto de vista geológico y paleontológico). Y así se llama porque las condiciones eran tan extremas como lo serian en el mismo Hades griego (infierno). Antes era una bola demasiado caliente, llena de materiales pesados y sometida a diversos impactos. Cuando el tamaño del planeta es del 40% del que es ahora, la atracción gravitacional hace que pueda retener material más variado. Uno muy importante: el agua. Y muchos de estos materiales forman una bolita muy muy muy caliente, alrededor de un par miles de grados.

    Hedaico

    Debido a los diversos impactos que suceden sobre el planeta, la contracción gravitacional, y además de eso tenemos materiales radioactivos que calientan al planeta, llega un momento en el que el hierro se funde, y se va hacia el centro del mismo, haciendo que los materiales ligeros suban, formando así el núcleo y el manto. Cuando los impactos son cada vez menos frecuentes, la Tierra empieza a enfriarse.

    Después, de algo que no se esta completamente seguro, es de que existía otro planeta más o menos con las mismas condiciones que el nuestro, creciendo, que esta con una órbita de 60º delante o detrás de nuestra órbita, sin embargo debido a la cercanía cuando este pequeño planeta (Theia, la madre de la diosa de la Luna) tiene una masa casi como lo que tiene Marte, la fuerza de gravedad actúa y hace que se impacte sobre nuestro planeta.

    Recordemos que aún no se solidifica nada, es como si tuvieran una bola de plastilina caliente, en ambas partes, así que no se puede hablar de un impacto muy fuerte como lo hubiera sido si fueran rocas de verdad. Este fue el final de nuestro pequeño planeta Theia, gran parte de este planeta se fundió y se fue al núcleo, otra parte se queda en el manto y otra parte sale despedida hacia el espacio. Una parte, debida al campo gravitatorio de la Tierra, no pudo escapar formando así un anillo rocoso, en donde empezaron a haber colisiones pero ya entre rocas, porque la temperatura disminuye para nuestras amiguitas por ser tan pequeñas. Y así es como se formo la Luna. Pero de esto ya platicó un poco (quién creen (atinaron))Ari.

    Después de esto las cosas se fueron relajando un poco. Se empieza a enfriar el planeta y podemos hablar de continentes de roca sólida y mares de roca fundida. Nuestra hermosa Luna estaba aún cerca de nosotros y parecía más un jitomate que la hermosura que vemos ahora. Pero las condiciones empiezan a mejorar, los impactos ya no son tantos en un período corto de tiempo. Nada mal para el principio.

    Tierra primitiva de Bonestell. Con nuestro jitomate :P

    Lo interesante (aparte de la atmósfera que estaba compuesta principalmente por dióxido de carbono, amoníaco, nitrógeno, vapor de agua, hidrógeno, metano y otros gases) era la presión. La presión en ese tiempo es 250 veces mayor que la de ahora. Sin embargo esto será de gran ayuda. Sabemos desde hace mucho que la temperatura a la que hierve el agua es de 100ºC, sin embargo pocos saben el final, 100ºC al nivel del mar. Pero aquí en la ciudad el agua hierve a más o menos 94ºC. Así que podemos tener agua líquida con una presión muy grande, y a una temperatura de 200ºC, que es precisamente lo que sucedió en esos momentos. Y bajo esas condiciones, comenzó a llover!!! Aquí la temperatura ya era más baja, sin embargo la actividad volcánica aún es intensa. Las nubes no dejan ver el cielo, debido a la presión, ya parte de esa atmósfera pasa a ser un gigantesco océano. Al final de este eón, sucede algo muy interesante, un cataclismo. Se empieza prácticamente a bombardear a la Tierra con rocas enormes, haciendo muchos cráteres de un radio de 20 km aproximadamente.

    Cuando se da la transición entre la era Hedaica y el Arcaico, las condiciones del planeta eran muy parecidas a las de ahora. La temperatura disminuye (el Sol no es tan caliente como ahora) los mares son de agua dulce, una parte de la atmósfera se fue al espacio, otra se adhirió a rocas, empieza un ciclo bonito del agua. En algún momento comienza algo de gran impacto sobre el planeta, empiezan a aparecer organismos vivos.

    Imagen de Spore, juego muy entretenido XD

    Pero este ya no es tema principal de esta entrada, lo importante que quería mencionar era un poco su formación y la percepción de esta.

    Índice de imágenes:

    [1,2]http://eltamiz.com/2008/06/07/el-sistema-solar-la-tierra-ii/

    [3]http://normantrujillo.wordpress.com/2010/04/22/dia-de-la-tierra-2010/

    [4]http://www.macworld.com/appguide/app.html?id=69330&expand=false

    La Geometría del Sonido

    Hoy vamos a hablar de un efecto acústico muy bonito: Las figuras de Chladni. No es nada de otro mundo, estoy casi seguro que ya las conocen. Son las figuras que se forman cuando ponen arena o sal en una placa metálica que hacen vibrar. ¿Ya las ubicaron? Si no, vean el siguiente video.

    ¿Qué ocurre? En realidad es muy fácil de entender. Como seguramente habrán notado, lo que hacen es excitar la placa metálica con distintas frecuencias. Cuando ustedes hacen vibrar la placa a cierta frecuencia, empiezan a viajar ondas a través de ella. Cuando estas ondas llegan al final de la placa rebotan y se suman con las ondas que vienen del centro. Esto provoca lo que se conoce como “onda estacionaria” es decir, es una onda que no “viaja”, y solo hace sus perturbaciones en ciertos puntos. Lo que hace la sal, (arena o cualquier cosa granular fina que le pongan), es irse a los puntos donde hay menos movimiento, que se conocen como líneas nodales.

    Una onda estacionaria

    Así que dependiendo forma de la placa o de la frecuencia con la que la pongan a vibrar, obtendrán distintas figuras geométricas.

    ¿Verdad que está muy padre? Este efecto fue descubierto por Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827), para muchos considerado como el padre de la acústica.

    Chladni fue el primero en investigar que ocurría al hacer vibrar placas metálicas. Obviamente en su tiempo no existían equipos electrónicos para hacer vibrar las placas como en el video, así que él las estimulaba usando un arco de violín. Sin duda Chladni quedó fascinado al ver como se acomodaba la arena en las líneas nodales, pues en su libro incluyó cientos de dibujos en diferentes modos de excitación para distintas figuras, como triángulos, círculos, cuadrados e incluso elipses.

    Se dice que inclusive Napoleón dijo “El sonido puede verse” cuando Chladni hizo su demostración en la Academia Francesa de Ciencias.

    La base teórica matemática del porque se veían estos patrones geométricos todavía no estaba clara, y fue el mismo gobierno francés el que ofreció un premio a la persona que pudiera encontrar la solución al comportamiento de las placas (eran tiempos de la ilustración, y los gobiernos daban muchos premios por la resolución de problemas físicos y matemáticos). El premio se lo llevó Sophie Germain en 1815, cuando encontró la ecuación diferencial de 4to orden que describía estas figuras.

    Hay que destacar que en esa época las matemáticas eran una actividad “reservada a los varones” lo que a mi parecer le da más merito al premio. Me gustaría seguirles contando más sobre Sophie Germain; su vida es muy interesante e hizo varias contribuciones importantes a las matemáticas, pero dejaré eso para alguna entrada futura.

    Yo sé que quieren saber más… pero lo siento,  eso es todo por hoy (ya no se que más ponerles =P).

    Bueno no…  tenemos un pequeño asunto pendiente. ¿Qué pasó con las soluciones a los problemas de la semana pasada? (pueden verlos aquí)

    Bueno, como muchos de ustedes me han dicho que no han tenido tiempo de pensarlos, les daré una semana más antes de ver las soluciones.

    Aquí les dejo unas cuantas pistas:

    1.- Quizá sea cierto que las familias tendrán más mujeres con la medida del sultán… sin embargo, tienen que fijarse que ocurre conforme pase el tiempo…

    2.- ¡Cuenten!… no todos los casos “pesan” igual

    3.- Misma pista que en el 2, ya dieron una respuesta correcta, pero incompleta

    4.- Ahí si tienen que meterle números, lo siento =). Intenten ver qué ocurre en diferentes casos.